泛函分析——武大精品课1-6new

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1、第6讲紧性与连续映射教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。授课要点：1、紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。2、紧集在连续映射下的特性。3、某些空间中紧子集的特征。我们称集族{B;λ∈Λ}覆盖A，若∪B⊃A.λλλ∈Λ定义1设X是度量空间，A⊂X．（1）称A是紧的，若X中的任一开集族覆盖A时，其中存在有限个开集仍覆盖A．（2）A称为是相对紧的，若A紧．（3）称E⊂X是A的ε网，若∪O(x,ε)⊃A．x∈E（4）称A是完全有界的，若∀ε>0，X中存在由有限个元素构成的A的ε网．注意，在定义1（3）中，作为A的ε网的集合E，并没有要求E⊂X．对于一个集合来

2、说，是否要求E⊂X并不改变其完全有界性．首先让我们来看一个例子．2对于X=A，若e=(0,",0,1,0,")，则

3、

4、e

5、

6、=1．令A={e;n≥1}，则A不是紧集．实nn2nn1际上，∀m≠n，

7、

8、em−en

9、

10、=2．若取Bn=Oen,，则{Bn,n≥1}是A的开覆盖．但由于22每个B只包含一个e，故其中不包含任何有限子族覆盖A．注意A是A中的有界集，由于nnA中不存在Cauchy序列，所以它还是闭集．此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间，Bolzano-Weierst

11、rass定理并不成立．思考题（1）证明定义1（4）下面“注意”中所说的事实。（2）证明完全有界集一定是有界集．定理1设X是度量空间，A⊂X，则下面两条件等价：（1）A是紧集．（2）A中任一无穷序列{x}包含有子序列{x}，x→x并且x∈A．nnknk证明先设A紧，{x}是A中的无穷序列．若{x}无子序列收敛于A中的元，则nn∀x∈A，∃r>0和自然数n，使得O(x,r)∩{x;n≥n}=∅．注意到∪O(x,r)⊃A，由Axxxnxxx∈Ak的紧性，存在x1′,",xk′，使得∪O(x′j,rx′j)⊃A．但当m≥max{nx1′,",nx′k}时，j=1O(x

12、′j,rx′j)∩{xn;n≥m}=∅，从而k{xn;n≥m}⊂∪O(x′j,rx′j)∩{xn;n≥m}=∅，j=1矛盾．反之，为证A紧，设{B;λ∈Λ}是A的一族开覆盖．∀x∈A，∃B，x∈B．B是λλλλ开集，故存在r>0，O(x,r)⊂B．记r=sup{r;O(x,r)⊂B,λ∈Λ}，显然r>0．我们证明λxλxr=infr>0（称r是A的Lebesque数）．0x0x∈A由下确界定义，∃∈xA，r→r．根据定理中条件，存在子序列x，x→x∈A．不nxn0nnnn0rx妨设x∈B，于是存在k，当k≥k时，x∈Ox,0，此时0λ000nn02

13、rxOx,0⊂O()x,r⊂B．nn20x0λ0rrx0x0于是r>(k≥k)，r=limr≥>0．（这说明紧集的Lebesque数大于0．）x00xnk2k→∞nk2现在任取x∈A，若O(x,r)⊃A并且O(x,r)⊂B，则B覆盖A．否则存在11010λ1λ12x∈AO(x,r)．若∪O(x,r)⊃A并且O(x,r)⊂B，则B，B覆盖A．否则又存在210i020λ2λ1λ2i=12x∈A∪O(x,r)，…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列{x}，显然3i0ni=1d(x,x)≥r(m≠n)．{x}无收敛子序列，与（2）矛盾．于是

14、对于某个n有mn0n0n0nn00∪Oxr(,)⊃A．设O(x,r)⊂B，则∪∪B⊃Oxr(),⊃A，A被有限覆盖．{B;λ∈Λ}i0i0λiλii0λi=1ii==11是任意的，由定义A是紧集．推论1每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的．这是因为对于紧集A中的每个序列{x}，若x→x，必有子列x→x∈A．故A闭．另nnnk一方面若A紧，E⊂X是闭的，则对于{x}⊂A，有子列x′→x，E闭，故x∈E．所以Ennk紧．定理2设X为度量空间，A⊂X，则下面两条件等价：（1）A是相对紧集．（2）A中任一无穷序列{x}包含收敛子序列（极限点不必在A中）．n证明1

15、°若A紧，{x}⊂A⊂A，由定理1，存在子序列{x}，x→x∈A⊂X．nnknk2°反之，设{x}是A中的无穷序列，构造A中的无穷序列{y}，nnxx,.若∈Annyn=1xx′′,若取∈∈

16、y子序列．n11证明1°若A是完全有界