泛函分析——武大精品课2-1

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1、第二章有界线性算子与线性泛函本章首先讨论线性算子的有界性和有界线性算子的空间，然后叙述关于线性算子和线性泛函的若干基本定理，它们是共鸣定理、开映射定理、闭图像定理以及Hahn--Banach延拓定理(包括分析形式和几何形式).这些定理在整个泛函分析理论中有着基本的重要作用.本章还将介绍这些定理在Fourie分析、积分方程、微分方程适定问题以及逼近论和近似计算等方面的应用.第9讲空间B(X,Y)与X*教学目的：掌握有界线性算子的基本性质和算子空间B(X,Y)的性质。授课要点：1、线性算子有界的等价条件。2、算子空间B(X,Y)的范数与

2、基本性质。3、求算子范数的某些常见方法。我们已经在第一章引入了线性算子与线性泛函的概念，同时也介绍了算子的连续性概念.现在让我们给出连续线性算子与连续线性泛函的一种形式上不同的定义，在基本空间是度量空间的情况下，它们在实质上是等价的.定义1设X，Y是线性赋范空间，T：X→Y是线性算子.T称为是有界的，若对于X中的任一有界集A，T(A)是Y中的有界集.注意应该把这一定义中的有界算子的概念与数学分析中有界函数的概念加以区别，后者是指在整个定义域中所取的值为有界的函数.同时要把线性算子与初等数学中所定义的线性函数加以区别，后者是指形如f(

3、x)=ax+b的所有函数.但只有在b=0的情况，它才是我们定义的线性算子.定理1设X，Y是线性赋范空间，T：X→Y是线性算子，则下列诸条件等价：　(1)T在某一点x连续.0(2)T在X上连续.(3)T是有界算子.(4)T在X的某一点的有界邻域内有界.特别地，T在X的单位球中有界.(5)存在c＞0使得Tx≤cx,∀x∈X.（1）若T=f是X上的线性泛函并且f≠0,则以上诸条件还等价于：(6)f的0空间N(f)={x∈X;f(x)=0}是X中的闭集.(7)N(f)不在X中稠密.证明(1)⇒(2)若T在x连续，即∀x→x时Tx→Tx.若y

4、∈X是任一点并0n0n0且y→y，令x=y−y+x，则x→x.从而nnn0n0Tx=T(y−y+x)→Tx，nn00T是线性的，故Ty→Ty.n(2)⇒(3)若T不是有界的，则存在有界集A⊂X,T(A)在Y中不是有界的.即∀n,,∃x∈A使得Tx≥n.不妨设x≤M，取y=x/n,则y≤M/n→0,即nnnnnny→0.而Ty=Tx/.n>n→∞T在0点不是连续的，与(2)矛盾.nnn(3)⇒(4)显然.(4)⇒(5)不妨设T在S(x,r)=｛x∈X;x−x≤r｝中有界，其中x∈X,r>0.注000意rS(0,1)+x=S(x,r)（

5、2）00由T的线性，T在S(x,r)上的有界性必导致它在S(x,r)−x上的有界性，从而导致在S(0,1)000上的有界性.为证(5)，假定在S(0,1)上，Tx≤c，则∀x∈X,x≠0,x/x∈S(0,1),从而xT()≤c,T(x)≤cx,x此式对于任何∀∈xX成立.(5)⇒(1)由(5)中式子不难知道，x→0时Tx→0，T在0点连续.nn现在设f为X上的线性泛函并且f≠0.(2)⇒(6)若f在X上连续，由于｛0｝是Φ中的闭集，由第4讲定理3，N(f)＝−1f({0})是X中的闭集.(6)⇒(7)若N(f)在X中稠密，由(6)知

6、N(f)＝N(.f)=X与f≠0矛盾.(7)⇒(3)由(7)，∃∈xXr,0>使得Oxr(,)∩Nf()=∅.若f不是有界泛函，由00(3)与(4)等价性的证明知道，f在任一点的有界邻域上都不是有界的.特别地f不在O(0,r)上有界.我们证明此时f(O(0,r)）＝Φ，后者是整个标量域.实际上，∀α∈Φ,存在αx'x'∈O(0,r)∈O(0,r),使得f(x')>α，取x=，则x

7、00x+y∈N(f).但显然x+y∈O(x,r)，所以O(x,r)∩N(f)≠∅，与所设矛盾.0000在线性代数、数学分析和微分方程中我们接触过许多有界线性算子的例子，下面举出一些常见的.nm例1设X=Φ,Y=Φ.在第4讲我们已提到，每个m×n阶矩阵A=(a)定义了一ijnmnmnm个线性映射T：Φ→Φ.反之，对于每个线性算子T：Φ→Φ,各取Φ,Φ的一组基底e,⋅⋅⋅,e;µ,⋅⋅⋅,µ；1n1m令mTei=∑αijµj,1≤i≤nj=1则得到m×n阶矩阵A=(a).ijnm于是，从Φ到Φ的线性算子可以与m×n阶矩阵对应起来.n特别

8、地，取m=1便得到Φ上的线性泛函，它的一般形式是nf(x)=αx+?+αx,∀x=(x,?,x)∈Φ（3）11nn1n其中α,?,α是某一组标量.1n命题有限维线性赋范空间上的每个线性算子都是有界的.n证明先设X=Φ，X上的范数是欧氏