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1、第23讲紧算子的谱论教学目的：掌握紧算子谱的特征。讲解要点：1紧算子谱的特征。2紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方程解的关系。Freidholm择一定理。紧算子是一大类有界线性算子,线性代数和积分方程中遇到的很多算子都是紧算子.本节我们叙述关于紧算子谱的Riesz-Schauder理论.为此，我们做一些必要的准备.设X是Banach空间，CX()是X中的紧算子的全体.引理1设X是Banach空间，N⊂X是有限维子空间，则N是可余的，即存在闭子空间M使得X=M⊕N.证明N是闭的，设ee,,⋅⋅⋅是N的一组基，对于每个x∈N,1nx=axe()+⋅⋅⋅+axe(),11nn
2、此表达式是唯一的.容易验证，ax(),,()⋅⋅⋅ax是N上的线性泛函并且1n每个ax()是连续的.实际上，ax()0=当且仅当1ix=axe()+⋅⋅⋅+axe()+axe()+⋅⋅⋅+axe(),11iiii−−++1111nn故Na()=⋅spane{,,,,,}⋅⋅⋅ee⋅⋅e为n−1维闭子空间.ii11−+i1na在N上定义，根据Hahn-Banach定理，a可延拓到整个空间Xiin***上.记延拓后的泛函为aa,,⋅⋅⋅，设M=∩NaM(),是闭线性子空间.1nii=1我们证明XMN=⊕.1若x∈∩MN,则一方面对于每个ixNaax,(∈),()=0,又iix∈N,
3、故x=axe()+⋅⋅⋅+axe()=0,11nn'**即MN∩={0}.另一方面，∀x∈X,记x=+axe()⋅⋅⋅axe(),则11nn'x∈N并且*'**'**axxaxaxaxax(−=)()−()=()−()0=，in=1,⋅⋅⋅.iiiii'''于是yxxMx',=−∈有分解x=xy+.所以XMN=⊕.引理2设X是Banach空间，A∈CX(),λ∈C,0λ≠,则NIA()λ−是有限维的，R()λIA−是X的闭线性子空间.D证明1考虑NNIAIA=()λ−−,λ是有界线性算子，故N是闭线性子空间.∀x∈=NAx,,λx即A()NNN=λ=.A是紧算子，xxnn设{}
4、x是单位球中的任一序列，则{}是有界序列，A().=x于是nnλλ{}x中有子序列{}x收敛.这说明N的闭单位球是紧的，从而N是nnk有限维的.D2由引理1，存在闭线性子空间M,XMN=⊕,我们证明M=−RIA()λ.定义算子B:,MX→=BxxAλ−x.由于XMN=⊕，在N上，λIA−=0，故R()BRIA=−(λ).B是一一的，实际上若BxB=∈xxxM,,,则1212()()λI−=−AxλIAx，或()λIAxx−()−=0，1212故一方面x−∈xM,另一方面x−xNIAN∈−()λ=，所以1212x−==xxx0,.1212现在我们证明存在aB>≥∀0,
5、
6、x
7、
8、a
9、
10、
11、
12、
13、,xx∈M.否则，存在x∈M,n−1−1
14、
15、Bxnx
16、
17、<
18、
19、
20、
21、，不失一般性设
22、
23、x
24、
25、1=，则
26、
27、Bxn
28、
29、<.A是紧的，nnnn故有子列x,.Ax→∈xX但AxxB=λ−x，由Bx→0知nnkk0nnnkkknk2λxx→→()n∞.于是一方面由B的连续性，Bx=limλBx=0.nkk00n→∞nkk另一方面，
30、
31、xx
32、
33、==lim
34、
35、λ
36、
37、
38、
39、λ≠0,矛盾说明a是存在的.0nknk→∞若y是R()B中的Cauchy序列，不妨设yB=xxM,,∈则nnnn
40、
41、yy−
42、
43、=
44、
45、(Bxxaxx−≥−)
46、
47、
48、
49、
50、
51、,mnmnmn{}x是M中的Cauchy序列，M闭，故
52、存在x∈Mx,.→x令n00nyB=x,则yRBB∈→(),xBxyRB=.()是闭的，所以R()λIA−0000n0是闭的.引理3设X为Banach空间，A∈B(),X则对应于A的不同特征值的特征向量彼此线性无关.证明设λ,⋅⋅⋅λ是A的互不相同的特征值，x,,⋅⋅⋅x是相应的特1n1n征向量，x≠==0,Axλxi(1,⋅⋅⋅n).若x,,⋅⋅⋅x线性相关，不失一般iiii1nn−1性设xni=∑i=1axi，则一方面()λI−⋅AI⋅⋅()()λλ−AxI=−⋅Ax⋅⋅(λ−Ax)1111nn−−nnn=()λIA−⋅⋅⋅()λλIAx−()−λ121nn−−nn=⋅⋅⋅
53、⋅⋅⋅=()λ−⋅λλλ⋅⋅−()0x≠11nnn−n另一方面，它们是可交换的，从而n−1()λ11I−AI⋅⋅⋅()λnn−−Ax=∑aIAin()λλ11−⋅⋅⋅()−IA−=xi0,i=1矛盾.由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立.定理1设X是Banach空间，A∈CX(),则（1）A的非零谱点都是特征值.（2）σ()A是可数集，0是σ()A惟一可能的聚点.(3)若dimX=∞,则0()∈σA.(4)对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的.3D证明1我们证明当λ≠
