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1、第一章线性赋范空间本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识．正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构．本章将首先介绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用．第1讲线性空间教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。讲解要点：1了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。2掌握线性无关与基底的
2、概念，弄清这一概念与线性代数中有限维空间相应概念的联系与区别。3了解凸包与张成的子空间的概念与属性。我们以Φ代表标量域，即实数域R或复数域C．定义1设X是某个集合，其中规定了两种运算（“加法”与“数乘”），使得（Ⅰ）X关于加法构成交换群．即∀x,y∈X，存在u∈X，称u为x与y之和：u=x+y．满足（1）x+y=y+x．（2）(x+y)+z=x+(y+z)．（3）存在0∈X使得任意的x∈X，x+0=x．（4）对于每个x∈X，存在x′∈X使得x+x′=0．记x′=−x，称x′是x的负元．（Ⅱ）数乘运算可行．即∀x∈X，α∈Φ，存在v∈X，称v为α
3、与x的积：v=αx．满足 α,β∈Φ，x,y∈X，（1）1x=x，（2）α(βx)=(αβ)x，（3）α(x+y)=αx+αy，(α+β)x=αx+βx．则X称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量．当Φ=R时，称X是实线性空间．当Φ=C时，称X为复线性空间．线性空间的子集合E，若对于同样的标量域构成线性空间，则称E是X的线性子空间．显然E是X的线性子空间当且仅当∀x,y∈E，α,β∈Φ则αx+βy∈E．我们采用以下记号：当x∈X，E,E⊂X，α∈Φ时，记 12x+E={x+x:x∈E}，1111aE={ax:x∈E}，1111E+E={x+x
4、:x∈E,x∈E}．12121122称αE是E的倍集，称E+E是E，E的（线性）和集．1212注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开来．就运算性质来说，一般地，当E⊂X时，2E⊂E+E，其中的包含关系可能是严格的．此外，对于∀E⊂X，−E有明确的意义；若E≠∅，则E−E≠∅等等．线性空间X中的元素x,",x称为是线性无关的，若∀a,",a∈Φ，当1n1nax+"+ax=011nn时a="=a=0．X的子集合E称为是线性无关集，若E中任意有限多个元素都线性无1n关．不是线性无关的集合称为是线性相关的．若E线性
5、无关并且spanE=X，则称E是X的基底——Hamel基．此时若E仅由有限个元素x,",x组成，则称X是n维空间，记为1ndimX=n．若E由无穷多个元素构成，称X为无穷维的，记为dimX=∞．当X={0}时，记dimX=0．n例1n维空间Φ．X中的每个元是一个n数组x=(x,",x)，∀x∈Φ，1≤i≤n，定义1ni(x,",x)+(y,",y)=(x+y,",x+y)，1n1n11nna(x,",x)=(ax,",ax)，(a∈Φ)． 1n1n这些n数组构成线性空间，其维数为n．即dimX=n．∞例2无穷序列空间Φ．X中的每个元都是一个无穷
6、序列x=(x,x,")，x∈Φ，定义12n(x,x,")+(y,y,")=(x+y,x+y,")，12121122a(x,x,")=(ax,ax,")，)(a∈Φ，1212则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即dimX=∞．例3函数空间．设Ω为任一点集，X是在Ω上定义的函数全体，规定f=f(t)，g=g(t)时，(f+g)(t)=f(t)+g(t)，(af)(t)=af(t)，(a∈Φ)．容易验证X是线性空间．今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是
7、线性空间。注意：定义1与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为n数组。这一点很重要，例如在线性代数中有一个结论：任何n+1个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。利用Zorn引理可以证明：任一线性空间必存在极大线性无关集合，这一集合即是X的Hamel基．换句话说，任一线性空间必存在Hamel基．凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集．X的子集E称为是凸的，若∀x,y∈E，0≤r≤1，rx+(1−r)y∈E．对于任一集合E⊂X，记nncoEr=∈∑∑iix:
8、xiE,rrni≥0,i=1,=1,2,"，ii==11n称coE是E的凸壳．其中形如∑rixi的元素称为x1,",xn的凸组合．记i=1ns
