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《泛函分析——武大精品课4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第20讲正交投影教学目的：掌握正交投影算子和正交分解的基本性质。讲解要点：1投影定理以及投影算子的初步性质。2投影算子的特征及其运算。3空间的正交分解。定义1设H是内积空间，E⊂H是线性子空间，x∈H.若存在分解x=x+x，其中x∈E，x⊥E，则称x为x在E上的投影，12121记为Px=x.E1定理1设H是内积空间，E⊂H是线性子空间，x∈H，x∈E，1则以下诸条件等价：（1）Pxx=.E1（2）x−=xxinf−z,(4-2-1)1zE∈2（3）∀∈zE,实变量函数f()λ=−+xxzλ在λ=0有最小值。
2、1证明(1)⇒(2)x有分解x=xx+，其中x∈E，x⊥E，1212则∀∈zE，x−∈zE，x⊥xz−，于是121222222x−=−+zxzx＝x−+zx≥x＝x−x121221注意到x∈E，故x−=xxinf−z。11zE∈(2)⇒(3)注意f(λ)是λ的连续函数并且x−λz∈E，f(λ)在1λ=0的最小性即（4-2-1）.1(3)⇒(1)∀z∈E，取λ为实变量，则22f(λ)−f(0)x−+xzxx11λ−−f′(0)=lim=limλ→0λλ→0λ2=lim((x−+−+xz11,)(,zxx)λz
3、)λ→0=2Re(,x−xz).(4-2-2)1f(λ)在λ=0是可微的.由于λ=0是最小值点，故Re(,x−xz)=0.1同样地，将z换为iz得出Im(,x−xz)=0，从而(,x−xz)＝0.z∈E是11任意的，最后得出x−⊥xE.故Pxx=。1E1定理2（投影定理）设H是Hilbert空间，E⊂H为是线性子空间，则∀∈xH，Px存在且唯一。E证明若x∈E，则Px＝x.若x∉E,取x∈E使得yx−Enn→ρ(,)yE=d，由于22xx−=−−−()xx()xxmnnm222x+xnm＝2(xx−+−xx
4、)－4x−nm2222≤2(y−x+y−x)－4d→0,nm{x}是Cauchy序列。不妨设x→x，E闭，所以x∈E.现在nn00x−=xxlim−==xdinfx−z，0nn→∞zE∈由定理1，Px＝x。E0由于Hilbert空间是严格凸的，x是唯一的最佳逼近元。0其实为了得到最佳逼近元，定理2中的集合E可以是任一闭凸子集，x的存在唯一性结论及其证明都不改变。定理2和定理1还说明0空间一点到闭子空间（闭凸集）的投影，恰恰是这一点关于闭子空间2（闭凸集）的最佳逼近元。不仅如此，在Hilbert空间上我们还可
5、以定量地计算出一点到最佳逼近元的距离。例1设H是Hilbert空间，E⊂H是线性子空间，dimE=n,ne1,",en是E的一组规范正交基，则∀x∈H，PEx=∑(x,ei)ei并且i=1∞2212dxE(,)=((xx−∑,ei)).(4-2-3)i=1∞若{en}是H中的规范正交集，E=span{en}，则PxEi=∑(,)xeei并且i=1∞2212dxE(,)(=−x∑(,)).xei(4-2-4)i=1n实际上，令x1=∑(x,ei)ei，x2=x−x1，则x1∈E,∀∈zE，i=1nzz=∑(,
6、)eiie,实际计算得到i=1(,)(xz=−xxz,)(,)(,)0=xzxz−=211n故x2⊥E，从而PEx=x1=∑(x,ei)ei.由投影定理i=1n221221dxE(,)=−=xx(x−x)2=((xx−∑,e))2.11jj=1思考题若ee,,"是E的规范正交基,证明类似的结论成12立.推论1设H是Hilbert空间,EH⊂是闭线性子空间,记从H到E的投影算子是P,则(1)P:H→E是线性算子.(2)P≤1.若E={0},则P=0;若E≠{0},则P=1.(3)E=RP()=−NIPNP()
7、,()=−RIP().称E是P的投影子空间.3D证明1设x=x+x,y=y+y,其中x,,yExyE∈,⊥,12121122则αx+βy=(αx+βy)+(αx+βy),1122其中αx+βy∈E,而∀z∈E,(x,z)=0,(y,z)=0,故1122(,αxy+=+=βαβzx)(,zy)(,z)0.2222所以αx+βy⊥E,于是22P(αx+βy)=αx+βy=αPx+βPy.11P是线性的.D2222∀∈xH,若x=x+x是正交分解,则x=x+x.从1212而222Px=x≤x,Px≤x,P≤1.1
8、若E={0},则∀x∈H,Px=0,故P=0.若E≠{0},则有x∈E,x=1使得Px=x,P≥Px=11111x=1,从而P=1.1D3由于y∈R(P)当且仅当y=x+x时x=0,此即122y−Py=0从而y∈N(I−P),反过来也一样,另一式子可同样证明.定理3设H是Hilbert空间,E⊂H是线性子空间,记⊥{}E=x∈H,x⊥E,则⊥(1)E是H的闭线性子空间.⊥⊥(2)若E是闭的,则E=E.⊥(3)若E
