泛函分析——武大精品课1-2new

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1、第2讲度量空间及其拓扑教学目的：介绍度量空间的公理及其拓扑性质。授课要点：度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相互关系。定义1设X是某个集合，d:X×X→R是一个二元映射，满足（1）0d(x,y)≥；d(x,y)=0当且仅当x=y．（2）)d(x,y)=d(y,x．（3）)d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z（三角不等式）．则称d是X上的度量（距离）函数，称X为度量（距离）空间．有时为了明确，记为(X,d)．度量空间的子集合E，仍以d为E上度量构成的度量空间称为(X,d)的子空间．n例1对于n维空间Φ中的点x=(x,",

2、x)和y=(y,",y)，定义1n1n1n22dxy(,)=−∑xyii,（1）i=1n容易验证d是Φ上的度量函数．其中的三角不等式即数学分析中用到的Minkowski不等式111n22n22n22∑xi−zi≤∑xi−yi+∑yi−zi,i=1i=1i=1n记此空间为(Φ,d).称之为n维欧几里德（Euclid）空间．nn实际上在Φ上还可以定义其他度量，例如d(x,y)=maxx−y，此时(Φ,d)仍是度1ii11≤i≤nnnn量空间．但须注意应把(Φ,d)与(Φ,d)视为不同的度量空

3、间．此外注意今后当说到Φ是1度量空间时，总意味着它带有欧氏度量.例2空间s．∞考虑上节例2中的线性空间Φ，对于x=(x),y=(y)，定义nn∞1x−yiid(x,y)=∑．（2）ii=121+xi−yi现证明d是度量函数，记此空间为s．证明（1）显然d(x,y)≥0．若d(x,y)=0，则必有x−y=0，即x=y(i=1,2,")，iiii故x=y．（2）d(x,y)=d(y,x)显然．t（3）考虑函数f(t)=，t≥0．由于f(t)的递增性，对于任意实数a，b，由1+ta+b≤a+b得到a+ba+bab≤≤+，1+a+b1+a+b

4、1+a1+b所以∞1x−ziid(x,z)=∑ii=121+xi−zi∞1x−y+y−ziiii=∑ii=121+xi−yi+yi−zi∞1x−yy−ziiii≤∑+2i1+x−y1+y−zi=1iiii=d(x,y)+d(y,z)．例3空间C[a,b]．C[a,b]是区间[a,b]上的连续函数全体，对于x,y∈C[a,b]，定义d(x,y)=maxx(t)−y(t)．（3）a≤t≤b则d是C[a,b]上的度量函数．容易验证1°d(x,y)≥0．若d(x,y)=0则∀t∈[a,b]，x(t)=y(t)，故x=y．2°显

5、然d(x,y)=d(y,x)．3°d(x,z)=maxx(t)−z(t)a≤t≤b≤max{}x(t)−y(t)+y(t)−z(t)a≤t≤b≤maxx(t)−y(t)+maxy(t)−z(t)a≤t≤ba≤t≤b=d(x,y)+d(y,z)．C[a,b]是度量空间．定义2设(X,d)是度量空间，E⊂X．（1）称diamE=sup{d(x,y);x,y∈E}是E的直径．称E是有界集，若diamE<∞．（2）对于x，x∈X，称x（依度量d）收敛于x，若nnd(x,x)→0(n→∞)．n记之为limx=x或x→x．nnn→∞定理1度量空间

6、中序列的极限是惟一的．收敛序列的元素构成有界集．证明若x→x，x→y，即nnd(x,x)→0，d(x,y)→0，(n→∞)．　nn由三角不等式知道0≤d(x,y)≤d(x,x)+d(x,y)→0，(n→∞)．　nn故d(x,y)=0，由定义知道x=y．后一结论是明显的．定理2d(x,y)是两个变元的连续函数，即当x→x，y→y时，nnd(x,y)→d(x,y)．nn证明由三角不等式知道，d(x,z)−d(x,y)≤d(y,z)，同样地d(x,y)−d(x,z)≤d(z,y)=d(y,z)，于是d(x,y)−d(x,z)≤d(y,z)（

7、4）应用（4），则d(x,y)−d(x,y)≤d(x,y)−d(y,x)+d(y,x)−d(x,y)nnnnnn≤d(x,x)+d(y,y)→0．nn故d(x,y)→d(x,y)．nn例4设X是任一点集，定义0,x=y,d(x,y)=∀x,y∈X．（5）1,x≠y,容易验证(X,d)是度量空间．称此类空间为离散度量空间．此例说明对于任一点集X，可以在X上规定某种度量函数使之成为度量空间．但是我们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题，因此我们通常所关心的是与空间的某种性质紧密联系的度量函数．下面是这方面的例子．命

8、题2C[a,b]中的序列x依度量收敛于x等价于x在[a,b]上一致收敛于x．nn由C[a,b]中度量函数的定义直接得出．例5空间S．设(Ω,Σ,µ)是有限测度空间，µ(Ω)<∞，关于Σ可测的函数全体记为S．定义x(t)−