泛函分析——武大精品课1-8

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1、第8讲积空间与商空间教学目的：了解积空间与商空间的定义与基本性质。授课要点：1、积空间的定义和基本性质。2、商空间与商映射的基本属性。设(;X

2、

3、

4、⋅≤

5、),1in≤是一组线性赋范空间，令iiX={}x=(x,?,x):x∈X,1≤i≤n，1niin记为X=∏Xi.X中元素的线性运算与序列空间中一样定义，则X是线性空间.若此外定义i=11npp

6、

7、x

8、

9、p=(∑

10、

11、xi

12、

13、i),1≤p<∞i=1

14、

15、x

16、

17、=sup

18、

19、x

20、

21、,p=∞∞ii1≤i≤n则(X,

22、

23、⋅

24、

25、)是线性赋范空间.p定理1设X，X如上，则X是线性赋范空间并

26、且i(1)X是完备的当且仅当每个X(1≤i≤n)完备.i(2)每个映射P:X→X,x→x是连续的（i=1,...,n）.iii(k)(k)(k)证明1°先设每个X是完备的，假定x=(x,?,x)是X中的Cauchy序列，则i1n∀ε>0，∃k使得s,k≥k时00n(s)(k)p(s)(k)pp∑

27、

28、xi−xi

29、

30、i=

31、

32、x−x

33、

34、p<ε,i=1特别地对于每个i，(s)(k)

35、

36、x−x

37、

38、<ε(1)iii(k)(k)这说明{x;k≥1}是X中的Cauchy序列.由X的完备性,不妨设

39、

40、x−x

41、

42、→0，这里iiiiiix∈X(

43、1≤i≤n).记x=(x,?,x).在(1)中固定k≥k,令s→∞，则有ii1n0(k)

44、

45、x−x

46、

47、≤ε.(2)iii不妨设对于每个i，当k≥k时(2)均成立,则01n(k)(k)ppp

48、

49、x−x

50、

51、p=(∑

52、

53、xi−xi

54、

55、i)≤nε,(1≤p<∞).i=1(k)总之，limx=x.故X完备.k→∞反之，设X完备，我们证明每个X完备.注意iE={(0,?,0,x,0,?,0);x∈X}i%&'iiii是X的线性子空间并且E与X等距同构.ii

56、

57、(0,?,0,x,0,?,0)

58、

59、=

60、

61、x

62、

63、,∀x∈X.ipipii于是剩

64、下只需证明E是X的闭子空间.i(k)(k)(k)设x=(0,?,0,x,0,?,0)∈E,x→x,不妨设x=(x,?,x)，其中x∈X(1≤i≤n).ii1nii由于(k)p(k)pp

65、

66、x−x

67、

68、p=

69、

70、xi−xi

71、

72、i+∑

73、

74、xj

75、

76、j→0j≠i(k)此时必有j≠i时，x=0，同时

77、

78、x−x

79、

80、→0.这说明x∈E，E闭.(p=∞的情况可类似jiiiiii证明).2°由于当x=(x,?,x),y=(y,?,y)∈X时1n1n

81、

82、PxPy−=−≤−

83、

84、

85、

86、xy

87、

88、

89、

90、xy

91、

92、iiiiiip所以P连续(1≤i≤n).i上面我

93、们只对有限多个空间定义它们的乘积，实际上对于无穷多个也可以类似定义。定理1也照样成立。读者不妨试证之。下面让我们转到商空间.在第4讲证明完备化定理时我们已经接触过商集的概念.现在我们有：定理2设X是线性空间，E⊂X是线性子空间.(1)若规定x~y当且仅当x−y∈E，“~”是X中的等价关系.若定义x+y=x+y，αx=αx，则X/E(=X/~)是线性空间(称X/E是X关于E的商空间).(2)若X是线性赋范空间，E是X的闭线性子空间，则X/E是线性赋范空间.(3)若X是Banach空间，E是X的闭线性子空间，则X/E是Bana

94、ch空间.证明1°对于任意的x∈X，x−x∈E,故x~x.由于E是线性子空间，当x−y∈E时y−x∈E，故x~y则y~x.若x~y∈E，y−z∈E，则x−z=(x−y)+(y−z)∈E，故x~y,y~z时.所以“~”是等价关系.记x={}x+y;y∈E,X/E={}x;x∈X，并且规定　x+y=x+y，αx=αx(α∈Φ)，，　这些运算有确定的意义.例如若x=x,y=y则x−x∈E,y−y∈E，从而　1111(x+y)−(x+y)∈E,αx−αx∈E，　111于是x+y=x+y,αx=αx.依照第1讲定义1可验证X/E是线

95、性空间，其中o=E.1112°对于每个x∈X/E，令　

96、

97、x

98、

99、=inf

100、

101、y

102、

103、(3)y∈x则

104、

105、⋅

106、

107、是X/E上的范数.实际上

108、

109、x

110、

111、≥0,若

112、

113、x

114、

115、=0，则∃y∈x,

116、

117、y

118、

119、→0，故y−x=z∈E.nnnnz=y−x→−x，E闭，于是xExE∈==,0.nn对于每个x∈X/E，

120、

121、αx

122、

123、=

124、

125、αx

126、

127、=inf

128、

129、ay

130、

131、=

132、α

133、inf

134、

135、y

136、

137、=

138、α

139、

140、

141、x

142、

143、.y∈xy∈x11最后，∀x,y∈X/E，由定义，∃x∈x,

144、

145、x

146、

147、<

148、

149、x

150、

151、+，同时∃y∈y,

152、

153、y

154、

155、<

156、

157、y

158、

159、+，从nnnnnn而x+y∈

160、x+y并且nn2

161、

162、x+y

163、

164、≤

165、

166、x+y

167、

168、≤

169、

170、x

171、

172、+

173、

174、y

175、

176、≤

177、

178、x

179、

180、+

181、

182、y

183、

184、+,nnnnn令n→∞，得到　

185、

186、x+y

187、

188、≤

189、

190、x

191、

192、+

193、

194、y

195、

196、.于是(3)定义了X/E上的范数.13°若X完备，E闭，{}x是X/E中的Cauchy序列.取ε=，则∃n使当n≥n时，nkkkk211

197、

198、x