泛函分析——武大精品课1-7

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1、第7讲紧性与有限维空间可分性教学目的：掌握单位球的紧性与空间维数的关系，以及可分的概念。授课要点：1、有限维空间的同构性。2、有限维空间单位球的紧性特征。3、可分性与可分空间。现在让我们转到有限维空间的特殊性质．在上一讲推论3中已经知道，对于有限维空间来说，判别紧集的条件十分简单．实际上我们将会看到，这种情况是有限维空间所独有的．这里我们先给出一个同构性定理，在第4讲中我们曾定义了两个空间同构的概念．定理1设X，Y是线性赋范空间，T:X→Y是到上的线性映射，则T是X到Y上的同构当且仅当存在正数a，b使得a

2、

3、x

4、

5、≤

6、

7、Tx

8、

9、≤b

10、

11、x

12、

13、，∀x∈X．

14、（1）若X与Y同构，当一个是完备空间时，另一个也是．证明充分性．若对于任意的x∈X所说的不等式成立，则当Tx=Tx时，12a

15、

16、x−x

17、

18、≤

19、

20、T(x−x)

21、

22、=0，1212从而x=x，T是一一的．若x,x∈X，x→x，则12nn

23、

24、Tx−Tx

25、

26、≤b

27、

28、x−x

29、

30、→0，Tx→Tx，nnnT是连续的．若y，y∈Y，y→y，不妨设y=Tx，y=Tx，则nnnn−1−1a

31、

32、Ty−Ty

33、

34、=a

35、

36、x−x

37、

38、≤

39、

40、Tx−Tx

41、

42、=

43、

44、y−y

45、

46、→0，　nnnn−1−1−1于是Ty→Ty，T连续．总之X，Y同构．n必要性．设T是从X到Y上的同构映射，若不存在b>

47、0使得

48、

49、Tx

50、

51、≤b

52、

53、x

54、

55、(∀x∈X)，此时对于任意的n，有x∈X，

56、

57、Tx

58、

59、>n

60、

61、x

62、

63、，令nnnx1nx′=，则

64、

65、x′

66、

67、=→0，nnn

68、

69、x

70、

71、nn从而x′→0．但n

72、

73、Tx

74、

75、n

76、

77、Tx′

78、

79、=>n→∞，nn

80、

81、x

82、

83、n−1这说明T不是连续的．矛盾即证明存在b>0，

84、

85、Tx

86、

87、≤b

88、

89、x

90、

91、，∀x∈X．同样地，由T连续，−11存在a>0，

92、

93、Ty

94、

95、≤

96、

97、y

98、

99、，∀y∈Y，令y=Tx即得a

100、

101、x

102、

103、≤

104、

105、Tx

106、

107、．a最后的结论是明显的．线性空间X上的两个范数

108、

109、⋅

110、

111、，

112、

113、⋅

114、

115、称为是彼此等价的，若存在a,b>0使得12a

116、

117、x

118、

119、≤

120、

121、

122、x

123、

124、≤b

125、

126、x

127、

128、，∀x∈X（2）121由上面定理及其证明可以得出以下推论．推论1线性空间X上的两个范数

129、

130、⋅

131、

132、，

133、

134、⋅

135、

136、是彼此等价的，若对于任何x∈X，12n

137、

138、x

139、

140、→0当且仅当

141、

142、x

143、

144、→0．n1n2n定理2设X是线性赋范空间，Y是X的线性子空间，dimY=n，Φ是n维欧氏空nn间．若F:Φ→Y是到上的（或一一的）线性映射，则F是Φ到Y上的同构并且Y是X的闭子空间．n证明令e=(0,",0,1,0,",0)∈Φ，k=1,",n，F(e)=y，则kkkknnF(∑αkek)=∑αkyk．k=1k=1由于F为一一映射，F(x)=0时必有x=

145、0，于是α=0，k=1,",n，这说明y,",y线性k1nn无关，所以F是到上的．（另一方面，若F不是一一的，则y,",y线性相关，dimF(Φ)

146、

147、F(∑αe)

148、

149、≤∑

150、α

151、

152、

153、y

154、

155、≤(∑

156、

157、y

158、

159、2)2(∑

160、α

161、2)2，kkkkkkk=1k=1k=1k=1n1假设22∀α=(α,",α)∈Φn，

162、

163、F(α)

164、

165、≤b

166、

167、α

168、

169、．所以F是连续的．b=(∑

170、

171、yk

172、

173、)，则1nk=1考虑函数nnf(α,",α)=

174、

175、F(αe)

176、

177、，∀α=(α,",α)∈Φ1n∑kk1nk=1n2n则f是n元连续函数．E={α;∑

178、

179、αk

180、=1}是Φ中的有界闭集从而是紧集，由上一讲定理4k=1（3），f可以达到上，下确界．不妨设00β=f(α,",α)=inf{f(α,",α);(α,",α)∈E}．1n1n1n00因为y,",y线性无关，仅当α="=α=0时f(α,",α)=0，但(α,",α)位于E上，1n1n1n1n故β>0．n现在对于每个非0的(α,",α)∈Φ，令1nαkα′=，kn122(∑

181、αk

182、)k=1n则(α1′,",αn′)∈E，从而

183、

184、F(∑αk′ek)

185、

186、≥β或者k=1nn122

187、

188、F(∑αkek)

189、

190、≥β(∑

191、αk

192、)，k=1k=1即nβ

193、

194、α

195、

196、≤

197、

198、F(

199、α)

200、

201、，∀α∈Φ．nn由定理1，F是从Φ到Y上的同构映射．由于Φ完备，故Y完备．作为X的子空间，Y是闭子空间．证毕．n设X，Y为线性赋范空间，dimX=dimY=n，则存在到上的一一映射T:Φ→X和nF:Φ→Y，使得（1-4-9）成立．由此我们得到推论2（1）同维数的有限维线性赋范空间彼此同构．（2）有限维线性空间上的任意两个范数等价．（3）任何有限维线性赋范空间完备．线性赋范空间的任何有限维线性子空间是闭的．最后，让我们证明有限维空间的一个特征．引理（Riesz）设X是线性赋范空间，E⊂X是闭线性子空间，若E≠X，则∀ε(0<ε<1)，存在x∈X，

202、

203、

204、x

205、

206、=1使得d(x,E)=infd(x,x)>ε．0000x∈E~~证明取x