泛函分析——武大精品课3-3new

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1、第17讲共轭算子与紧算子教学目的掌握共轭算子与紧算子的概念和基本性质。授课要点1共轭算子的生成以及与原算子的对偶性。2紧算子的属性及常见紧算子的例。赋范空间有共轭空间，同样地有界算子有共轭算子.让我们先看下面定义.∗∗定义1设X,Y是线性赋范空间，X,Y分别是X与Y的共轭空间，∗∗∗T∈B()X,Y．若线性算子TY:→X满足∗∗∗∗∗()Tyx()()=yTx，∀∈xX，∀yY∈∗则称T是T的共轭算子.有时我们记f()(xx=,f)，则上式可以写成∗∗∗()Txy,,=(xTy)．(1)定理1设X,Y是线性赋范空间，T∈B(XY,)，则∗(1)T存在并且惟一,∗(2)

2、TT=．∗∗证明1°对于每个yY*∈，记lx()=(Txy,)，l是X上的线性泛函，并且∗∗∗lx()=≤()Txy,yTx≤yTx，∀x∈X所以∗lyT≤()3，∗∗∗∗∗∗∗这说明lX∈.显然l与y有关，记为Ty，则T是YX→的算子.由定义知道∗∗∗∗∗(x,,Ty)==lx()(Txy)，∀xX∈，yY∈∗∗直接验证可知T是线性算子.上式表明T是T的共轭算子.∗∗∗若T也是T的共轭算子，则∀∈xX，yY∈，1∗∗∗∗∗()x,,Ty==(Txy)(xTy,1),∗∗∗∗∗∗∗由x的任意性知TyTy=，由y的任意性知TT=．11∗∗2°由()3式，∀yY∈，∗∗∗

3、Ty=≤lyT，∗故TT≤．∗∗∗∗∗∀∈xX，若Tx≠0，则存在yY∈，y=1，Ty=Tx，于是000∗∗∗∗Tx=≤()xTy,,00Tyx若Tx=0，此式自然成立.故∗∗∗∗∗TT≤≤ysupTyT=.0∗y≤1∗总之，TT=．∗由2°还可以知道，若令σ*()TT=*，则σ(TTT)==.例行的验证表明σ是∗∗线性映射，所以σ是从B()XY,到B(YX,)的子空间上的等距同构.nmnm例1设T:Φ→Φ是有界线性算子，ee,,"是Φ的一组基，µ,,"µ是Φ的1n1m一组基，T在基底ee,,"与µ,,"µ之下对应的矩阵为(a)，即1n1mijmTeii=∑akµk，

4、(in=1,",)．（2）k=1令Y=span{,,,,,}eeee"",则Y是闭子空间，eY∉.由Hahn－Banach定理，k11kk−+1nkkk∗∗n∗∗存在e∈Φ()，eedeY()()=≠,0．必要时乘上一个不为0的常数，可设ee()=1，kkkkkkk∗∗∗对于其余的e，ee()=0.即ee,,"满足iki1n1,ki=,∗eeki()==δki0,ki≠.∗∗∗∗n**m称ee,,"是(Φ)的关于ee,,"的对偶基.类似地，设µ,,"µ是()Φ的关于1n1n1mµ,,"µ的对偶基.1m∗∗∗mn∗现在若T:()()Φ→Φ是T的共轭算子，T与(b)

5、对应，即ijn∗∗∗Tbµjj=∑kek，(j=1,",m)k=1则根据共轭算子的定义，应有∗∗()Teij,,µ=()eTi*µj，(1,≤≤≤≤injm1)实际验算可知mn∗∗∗∗∗()Tei,,µµj==∑aissµjaij,()eTijij,,µ=e∑bekkj=bi,s=1k=1所以ba=.jiij即(b)是()a的转置矩阵.换句话说，一旦对偶基确定之后，从有限维空间到有限维ijij空间的线性算子，其共轭算子相应的矩阵是原算子相应矩阵的转置矩阵.在线性代数中我们知道共轭矩阵在求解方程组或矩阵求逆中有重要作用，现在我们希望知道对于更一般

6、的有界线性算子其共轭算子的存在性和相关属性.定理2(1)若X,,YZ为线性赋范空间，A∈B(YZ,)，B∈B()XY,，则∗∗∗()ABB=A.∗∗(2)设IX与IX∗分别为X与X中的单位算子，则()IX=IX∗.∗∗∗证明1°容易知道，AB∈B(YZ,)，故()AB存在.∀xX∈，zZ∈，∗∗∗∗∗∗∗∗()x,,()ABz==(ABxz)(BxAz,)=(x,BAz)，∗∗∗故()ABB=A．∗∗2°∀xX∈，x∈X，∗∗∗∗∗()x,()IxIXX===(x,,,xx)(xx)(IX∗x)，∗故()IX=IX∗.∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗若TY:→X是TXY:→的共轭

7、算子，记TXY:→是T的共轭算子。∗∗∗∗定理3设X,Y是线性赋范空间，A∈B(XY,)，则A=A，A是A的保持范数不变的延拓.∗∗∗∗∗∗∗∗∗证明由定理1知A==AA．比较AXY:→与A:XY→，由于∗∗∗∗∗∗∗∗X⊂X，即DX()⊂DX()．对于xX∈，仍用x代表x(=∈Jx)X，则∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗()Axy,,==()Axy(xAy,)∗∗∗∗∗==()x,,Ay(Axy)，∀yY∈∗∗∗∗故AxA=x，于是A是A的保范延拓.下面让我们考察一类重要的算子——紧算子，它在积分方程论及数学物理等学科中具有重要应用.定义2设X,Y是线性赋