泛函分析——武大精品课2-6

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1、第14讲凸集的隔离定理教学目的介绍凸集的隔离定理及其应用。授课要点1、超平面的分析表达。2、Minkowski泛函的定义及属性。3、一般隔离定理的证明。4、紧凸集的严格隔离定理。5、Helly的第一、第二矩量定理。凸集的隔离定理又称为Hahn－Banach定理的几何形式，它在规划论，控制论与Banach空间几何理论上有重要的应用。首先让我们考虑平面上的情况，2设A,B是平面R上两个不相交凸集，则一定可以用一条直线将二者隔离开来，即存在直线laxbxc:+=，使12得对于A中的每个点()x,x，12ax+≤bxc，对于B中每个

2、点12()x12,x，ax12+≥bxc.（见图）对于一般线性空间中的凸集，我们有理由提出类似的问题.但是有两个更基本的问题需要解决：用什么将一般线性空间的凸集隔开？怎样才算将两个凸集隔开？定义1设X是线性空间，EX⊂是某个集合.（1）称E是线性流形，若ExM=+，其中x∈X，M是X00的某个线性子空间.1（2）称E是X的极大真子空间，若对于X的任一线性子空间M，当E⊂M，E≠M时，M=X.（3）称E为X的超平面，若ExM=+，其中x∈X，M是00X的极大真子空间.X上的线性泛函全体记为X′（X′中元不必连续），显然就点集∗

3、∗的包含关系来讲，X⊂X′.有时称X′为X的代数共轭，称X为X的拓扑共轭.定理1（1）E是X的极大真子空间当且仅当存在f∈X′，f≠0，E=Nf()，Nf()是f的0空间.（2）E是X的超平面当且仅当存在f∈X′，f≠0，Exfxc=={;()}，其中c是某个常数.D证明1若f∈X′，f≠0，考虑子空间Nf()(={xfx;0)=}，若W是线性子空间并且NfWNfW()⊂≠,()，取x∈WNf()，0fx()显然fx()≠0。∀x∈X，令yx=−x，则fy()=0，00fx()0fx()yNf∈()，x=+yx0，从而X=

4、span{x0,Nf()}⊂W，即fx()0WX=.Nf()是极大真子空间.反之，若E是极大真子空间，取x∉E，则X=span{x,E}.00∀x∈X，x=+xax，其中x∈E，a∈Φ，此表达式是唯一的.定101义f()xa=，若x=+xax，显然E=Nf().10DD2若E是超平面，则ExM=+，W是极大真子空间，由1，02存在f∈X′，f≠0，WNf=()，从而x∈E当且仅当f()xfxc==(0)或Exfxc=={;()}，若Exfxc=={;()}，f∈X′，f≠0，任取x∈E，则f()xc=，00D令yxx=−，则

5、fy()=0.由1，Nf()是极大真子空间，0ExNf=+0()，E是超平面.定理2设X是线性赋范空间，EX⊂是极大真子空间，f∈X′，f≠0，E与f的关系如同定理1，则∗（1）E是闭的当且仅当f∈X，（2）E是闭的当且仅当E不在X中稠密.证明由于ENf=()，全部结论可由本章第1讲定理1得出.通常称实空间X的子集在超平面E={xfxa;()=}的一侧，若Ax⊂≤{;fxa()}或Ax⊂≥{;fxa()}，称两个子集AB,被超平面E隔离，若AB,分属于E的两侧，称AB,被E严格隔离，若A⊂{xfxa;()＜}，B⊂{xfxa

6、;()＞}或者相反.前面在证明Hahn－Banach延拓定理时，我们事先假定X上存在某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理，我们将要从满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来.定理3设X是线性赋范空间，AX⊂是以0为内点的凸集，定义µ()x=∈inf{txt＞0;A}，则A3（1）µ在整个X上有定义；A（2）若t≥0，µµ(tx)=t(x)，∀x∈X；AA（3）µµ()x+=yxy()+µ()，∀x,yX∈；AAA（4）{xx;;µµ()＜1}⊂⊂Axx{()≤1}.若A是开集，则AAAxx={;µA()＜1}.（1）

7、，（2），（3）说明µ是X上的正齐性次可加泛函.我们称µ是集AA合A的Minowski泛函.DxD证明1对于每个x∈X，→0，A是0∈X的领域，故存在nxDnAA,⊂，即x∈nA，所以集合{rxr＞0;∈A}≠∅，µ()x有意00An0义.D2由于x∈rA当且仅当txtrA∈，故txtrµA()=∈inf{;xrA}=∈inf{tr;xrA}=∈inf{trtxtrA;}=µA(tx).Dxy3设rs,0>,若x∈rA，ys∈A，即∈A，∈A，A是凸集，rsxyrxsy+故=ii+∈A，即x+∈+yrsA().从而rsrsr

8、rss+++µA()x+≤+yrs，r与s是任意的.故µµAA(x+≤yxy)()(+µA).D4由µ的定义容易得到（4）中包含关系成立.例如若AxµA()x＜1，则存在r，0＜＜1r，x∈rA或∈A，A是凸集，0∈A，r4x从而x=−+∈()10rrAi，故{x;µ(xA)＜1}⊂.现在