离散型随机变量的期望、方差和正态分布

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1、离散型随机变量的期望、方差和正态分布【知识回顾】1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.4．总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分

2、布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，函数称为正态函数，的图象称为正态曲线．正态分布一般记为5．正态分布是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布,随机变量X的取值区间在（a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值.也就是随机变量X的取值区

3、间在（a，b]上的概率等于正态曲线与直线x=a，x=b及x轴所围成的封闭图形的面积.6．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“高”．总体分布越集中.5-5-7.通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态分布的随机变量取值在（μ-σ，μ+σ]，（μ-2σ，μ+2σ]，

4、（μ-3σ，μ+3σ]上的概率区间取值概率（μ－σ，μ+σ]68.3％（μ－2σ，μ+2σ]95.4％（μ－3σ，μ+3σ]99.7％注意：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取（μ－3σ，μ+3σ）之间的值（在此区间以外取值的概率只有0.0026），并简称之为3σ原则.【基础练习】1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（B）A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是（A）A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P（ξ=k）=0.01k

5、·0.9910－kD.P（ξ=k）=C·0.99k·0.0110－k3.已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于（A）A.B.C.D.4.一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（C）A.0.2B.0.8C.0.196D.0.8045．若X～N（60，82），则X位于区间（60，68]的概率是（D）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.3413【典例解析】1231020304050参加人数活动次数例1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学

6、生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为5-5-．（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次

7、活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；的分布列：012的数学期望：．例2.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件