离散型随机变量的期望及方差.ppt

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1、离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值与方差(1)均值　若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则ξ的数学期望(或平均数、均值，简称期望)为Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差　如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…那么D(ξ)＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做ξ的方差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．(标准差与

2、随机变量本身有相同的单位)(3)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．两点分布，则Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)．2．均值、方差的性质及应用(1)EC＝C(C为常数)；(2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b为常数)；(3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.1．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45答案：A2．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么()A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9DξB．Eη＝3Eξ，Dη＝3D

3、ξ＋2C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2答案：A3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望________．热点之一求离散型随机变量的期望与方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：1．理解X的意义，写出Y的所有可能取值；2．求X取每个值的概率；3．写出X的分布列；4．由均值的定义求EX；5．由方差的定义求DX.【例】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸出1

4、个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲，乙摸球后获得的奖金总额．求：(1)X的概率分布；(2)X的数学期望．解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60，热点之二期望与方差的性质及应用利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算．常用性质有：(1)EC＝C(C为常数)；(2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为

5、常数)；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；[例1]袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.[思维拓展]在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布

6、特征，正确求出分布列，这是求均值和方差的前提，然后准确应用公式，特别是充分利用期望和方差的性质解题，善于使用公式E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度．即时训练如果X是离散型随机变量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1和DX1分别是()A．12,1B．7,1C．12,2D．7,2解析：因为E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，由已知可得EX1＝7，DX1＝2，应选D.答案：D热点之三与二项分布有关的期望与方差当随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公

7、式求出EX和DX.[思路探究]解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验，答对问题的个数ξ服从二项分布，求η的期望与方差可通过ξ与η的线性关系间接求出．[思维拓展](1)当求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望与方差．即时训练某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差．X01P0.40.6