离散型随机变量的期望和方差1

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1、离散型随机变量的期望和方差学习指导本节主要学习离散型随机变量的期望和方差的概念及求法．离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．1．了解离散型随机变量的期望和方差的概念与意义，了解随机变量的标准差的定义；2．掌握离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：Eξ=，,Dξ=.E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ+b)=a2Dξ．能根据离散型随机变量的分布列求出期望与方差．3．掌握二项分布的期望与方差：若ξ～B(n，p)，则Eξ=

2、np，Dξ=np(1－p)．4．能用离散型随机变量的期望和方差解决一些实际问题．一、例题1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球．设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分ξ的概率分布和数学期望．解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，故P(ξ=5)=，P(ξ=6)=，P(ξ=7)=，P(ξ=8)=，Eξ=.2．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮

3、命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ（保留3位有效数字）．解：ξ的取值为1，2，3，4·ξ=1，表示第一次即投中，故P(ξ=1)=0.7，ξ=2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ=2)=(1－0.7)×0.7=0.21；ξ=3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ=3)=(1－0.7)2×0.7=0.063；ξ=4，表示前三次均未投中，故P(ξ=4)=(1－0.7)3=0.027．所以ξ的分布列为ξ1234P0.70.210.0630.027Eξ=1×0.7十2

4、×0.21＋3×0.063＋4×0.027=1.417．Dξ=(l－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027=0.531．说明：计算Dξ时可利用Dξ=简化运算．3．将一枚硬币抛掷n次，求正面次数与反面次数之差ξ的概率分布，并求出ξ的期望Eξ与方差Dξ．解：设正面的次数是η，则η服从二项分布B(n，0.5)，概率分布为P(η=k)=，k=0，l，……，n，且Eξ=0.5n，Dξ=0.25n．而反面次数为n－η，ξ=η－(n－η)=2η－n,于是，

5、ξ的概率分布为P(ξ=2η－n)＝P(η=k)=，k=0，1，……，n；或P(ξ=k)=P(η=)=，k=－n，－n+2，－n+4，……，n.故Eξ=E(2η－n)=2Eξ－n=2×0.5n－n=0，Dξ=D(2η－n)=22Dξ=4×0.25n＝n.二、练习题1．已知ξ的分布列为ξ－101P0.50.30.2则Eξ等于（D）（A）0（B）0.2（C）－1（D）－0.3提示：直接用定义计算．2．已知ξ的分布列为ξ－101P0.50.30.2则Dξ等于（B）（A）0.7（B）0.61（C）－0.3（D）0提示：直接用定义或性质

6、计算．3．已知ξ的分布列为ξ01Ppq其中P∈(0，1)，则（D）（A）Eξ=p，Dξ=pq（B）Eξ=p，Dξ=p2（C）Eξ=q，Dξ=q2（D）Eξ=l一p，Dξ=p－p2提示：ξ～B（l，q），p+q=1．4．抛掷一颗骰子，设所得点数为ξ，则Eξ=3.5，Dξ=.提示：ξ的概率分布为P(ξ=k)=，k=1，2，……，6按定义计算得Eξ=(1+2+3+……+6)·=3.5，Dξ==.5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2，则自动包装机乙的质量较好．6．设一次试验

7、成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为5.解：Dξ=npq≤，等号在p=q=时成立，此时，Dξ=25，σξ=5．7．一袋中装有6只球，编号为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取3只，求三只球中的最大号码ξ的数学期望．解：ξ的取值为3，4，5，6，P(ξ=k)=，k=3，4，5，6．因此，ξ的分布列为ξ3456PEξ=3×＋4×＋5×+6×==5.25．8．人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死

8、亡则赔付1万元．经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2。，则a需满足什么条件，保险公司才可能盈利．解：设ξ为盈利数，其概率分布为：ξaa－30000a－10000P1－p1－p2p1p2且Eξ=a(1－pl－p2)＋(a－30000)pl＋(a－10000)p2=