离散型随机变量的期望与方差复习

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1、开锁次数的数学期望和方差例有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．分析：求时，由题知前次没打开，恰第k次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．解：的可能取值为1，2，3，…，n．；所以的分布列为：12…k…n……；说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化

2、成熟悉的公式，是解决的关键．次品个数的期望例某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，为所含次品的个数，求．分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数服从二项分布，由公式可得解．解：由题，，所以．说明：随机变量的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题，应觉察到这是．根据分布列求期望和方差例设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，

3、求值，并求．－101P分析：根据分布列的两个性质，先确定q的值，当分布列确定时，只须按定义代公式即可．解：离散型随机变量的分布满足（1）（2）所以有解得故的分布列为－101P小结：解题时不能忽视条件时，，否则取了的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．产品中次品数分布列与期望值例一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）分析：根据题意确定随机

4、变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为，显然可以取从0到5的6个整数．抽样中，如果恰巧有个（）次品，则其概率为按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有故的分布列为012345P0.5830.3400.0700.00700由分布列可知，这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．评定两保护区的管理水平例甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例

5、的事件次数的分布列分别为：甲保护区：01230.30.30.20.2乙保护区：0120.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数的数学期望和方差为：乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：；因为，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规

6、事件次数相对分散和波动．（标准差这两个值在科学计算器上容易获得，显然，）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后

7、才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望与方差（保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．解：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5．＝1，表示一发即中，故概率为＝2，表示第一发未中，第二发命中，故＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故＝5，表示第五发命中，故因此，的分布列为12345P0.

8、80.160.0320.00640.0016说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．准备礼品的个数例某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量．而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解