无穷小阶的比较

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1、1.6无穷小阶的比较1无穷小的比较设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。(1)如果，则称是比高阶的无穷小，记为；也说是比低阶的无穷小。(2)如果(是不为0的常数)，则称是与同阶的无穷小。(3)如果，则称与是等价无穷小，记作或。(4)如果(，是不为0的常数)，则称是关于的阶无穷小。例如　时，，，与是同阶无穷小，同时也是关于的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，时，，都是无穷小。由于和都不存在，因此，与不能进行阶的比较。例1时，比较与的阶。解。时，与是等价无穷小。定理1.5.1　设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则。例如　时，，故　，即，于是在的小邻域

2、内可以用近似代替。定理1.5.2　设都是自变量同一变化过程中的无穷小，且，，若存在，则。44/3证明　。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。例2　求。解时，；又时，所以。因此。例3求极限。解。时，，，所以。若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。2时几个常见的无穷小时，,，，，，()，()。例4证明时，。证明　时，，因此，，故于是　　　　即　时，。44/3作业:P451,2.44/3