无穷大与无穷小、无穷小的比较

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1、1.11无穷小量、无穷大量一、无穷小量则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量.定义1若,注意无穷小是变量,不能与很小的数混淆。注：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量.例：是该极限过程中的无穷小量.A为常数.定理1证:当时,有二、无穷小量的运算定理1.有限个无穷小量的代数和为无穷小量.注：“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量.例如2.有界量与无穷小量之积为无穷小量.例如3.有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量。二、无穷大量注意1.无穷大量也有正无穷大量和负无穷大量例如3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.01-11x

2、xyyx1+x1–例1：例2:试从函数图形判断下列极限.解：(1)xy0xyy=tgxxyxoyxxyyx+x–思考：无界函数一定是无穷大量吗？例3：1.±，　都不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量.2.0,(有界量)不一定是无穷大量.3.无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量.三、无穷大量的运算性质但有(+)+(+)=+,()+()=.±(有界量)=，±常量=,但有=,C=(C为非0常量).定理2：在某极限过程中,若f(x)为无穷大量,则反之,若f(x)为无穷小量四、无穷小与无穷大量的关系无穷小的比

3、较一、无穷小的比较例如,观察各极限不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.定义:例1例2◆常用等价无穷小:注.21~cos1,~1,~)1ln(,~arctan,~tan,~arcsin,~sin2xxxexxxxxxxxxxx--+二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证例3注意不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.例4三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.关于1∞型

4、极限的求法