无穷小量、无穷大量、阶的比较

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1、微积分讲课提纲微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬E_mail:jfzhu@zju.edu.cn第三节函数极限一、函数极限的概念二、函数极限的性质三、函数极限存在的准则五、两个重要极限四、无穷小量、无穷大量、阶的比较一、无穷小语言表述当时,有则例如,（4）不能说函数是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即指出自变量的变化过程.（5)同样有时无穷小.注意:（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）此概念对数列极限也适用.若,称数列为的无穷小。有界量与无界量若存在的某空心邻域，使f(x)在内有界，

2、则称f(x)当时是有界量。对无论多么小的某空心邻域，任给M>0，存在x’,使

3、f(x’)

4、>M，称f(x)当时是无界量。定义：定义：2、无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.例如,注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.例

5、如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限不可比.不存在.二、无穷小的比较定义:例如，例：证明证必要性充分性三、无穷大注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;不是无穷大．无界，无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.证2、无穷大的运算性质(2)在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.(3)在某极限过程中,有限个无穷大量之积仍是一个无穷大量.不是无穷大量是无穷大量考察有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？考察无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.3、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无

6、穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.解:(1)证明四、两个重要极限例.求例.求推广:例.求解.例.求解.例.求定义：例：求解原式例解定理(等价无穷量替换定理)证意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，用因式来替换。例求解例求解例解不能滥用等价无穷小代换.注意切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.解

7、：求例：例解解错连续两次使用等价无穷小替代.等价无穷小替代例：解：例解