数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶

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1、习题3.3无穷小量与无穷大量的阶1.确定a与，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～)a：(1)u(x)=,(x→0，x→∞)；(2)u(x)=(x→0，x→∞)；(3)u(x)=+(x→0+，x→+∞)；(4)u(x)=(x→0+，x→+∞)；(5)u(x)=-(x→0，x→+∞)；(6)u(x)=-x(x→+∞)；(7)u(x)=-(x→0+)；(8)u(x)=-(x→0+)；(9)u(x)=lncosx-arc(x→0)；(10)u(x)=-(x→0)。解（1）～；～。（2）～；～。（3）～；～。（4）～；～。（5）～；～。（6）～。（7）～。（8）～。56（9）～。（10）～。2.(1

2、)当x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。(a＞1),,(＞0)，(k＞0)，[x]!；(2)当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由。(＞0)，,(a＞1)，,(k＞0)。解（1）当x→+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为(k＞0)，(＞0)，(a＞1),[x]!,。证明：设，则，，。由，与，即得到，，，同时也得到。（2）当x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为,,(a＞1)，(＞0)，(k＞0)。证明：令，则当x→0+时，有。参考（1）的排列即可得到（2）的排列。563.计算下列极限：⑴；⑵；⑶(-)

3、；⑷(-)；⑸(a＞0)；⑹(a＞0)；⑺x(ln(1+x)-lnx)；⑻(a＞0)；⑼；⑽；⑾n(-1)(x＞0)；⑿(-)(x＞0)。解（1）。（2）。（3）(-)。（4）(-)。（5）。（6）。56（7）x(ln(1+x)-lnx)。（8）。（9）。（10）。（11）n(-1)。（12）(-)。56习题3.4闭区间上的连续函数1.证明：设函数在上连续，且=A（有限数），则在有界。证由=A（有限数），可知，：，即。再由在闭区间上的连续性，可知在上有界，即：。令，，则，成立。2.证明：若函数在开区间上连续，且f(a+)和f(b-)存在，则它可取到介于f(a+)和f(b-)之间的一切中间值。

4、证令，则在闭区间连续，不妨设，由闭区间上连续函数的中间值定理，可知在闭区间上可取到上的一切值，于是在开区间上可取到介于f(a+)和f(b-)之间的一切中间值。3.证明：若闭区间上的单调有界函数能取到f(a)和f(b)之间的一切值，则是上的连续函数。证采用反证法。不妨设单调增加。若是56的不连续点，则与都存在，且，于是取不到开区间中异于的值，与条件矛盾；若是的不连续点，则存在，且，于是取不到开区间中的值，也与条件矛盾；同样可以证明也不可能是的不连续点。1.应用Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。证采用反证法。设在闭区间上连续，但无界，则存在点列，，满足，

5、即。由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列，，且。因为在点连续，所以有，与产生矛盾。2.应用闭区间套定理证明零点存在定理。证设在闭区间上连续，且，不妨设，，，。如果，则定理得证。如果，则令，；如果，则令，。如果，则定理得证。如果，则令，；如果，则令，。这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个，使得56，则定理得证；如果不存在某个，使得，则得到一个闭区间套，满足，。由闭区间套定理，可知存在唯一属于所有闭区间的点，且。再由在点的连续性，可知与，从而得到，定理得证。6.证明方程（）至少有一个正根。证令，则在上连续。取，则，，由零点存在定理，在上至少有一个根。7．证明方程（）有且仅有

6、一个实根。证令，则在上是严格单调增加的。由，，易知在上有且仅有一个实根。8．证明：（1）sin在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续；（2）sin在上不一致连续，但在[0,A]上一致连续；（3）在上一致连续；（4）lnx在上一致连续；(5)在上一致连续。证（1）在上，令，，，但，所以sin在（0,1）上不一致连续。在(a＞0)上，，取，，，56成立，所以sin在(a,1)(a＞0)上一致连续。（2）在上，令，，则，但，所以sin在上不一致连续。在上，，取，，，成立，所以sin在[0,A]上一致连续。（3），取，，，成立，所以在上一致连续。（4），取，，，成立，所以lnx

7、在上一致连续。（5），取，，，成立，所以在上一致连续。9．证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点。56证过点作弦，设弦与轴的夹角为，点将弦分成长度为和的两线段，则在连续，满足，于是必有，满足，也就是。10．设函数在[0,2]上连续，且f(0)=f(2)，证明：存在，，使得。证令，则在上连续，，于是必有，满足。令，则，，使得。11．若函数在有限开区间上一致连续，则在上有界。证由在上