无穷大量与无穷小量

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1、微积分第二章极限与连续数列极限函数极限变量极限无穷大与无穷小极限的运算法则两个重要的极限函数的连续性2.4无穷大量与无穷小量一.无穷小量定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小）。定义2：>0,某个时刻，在此时刻以后，

2、y

3、<,恒成立.则称y在此变化过程为无穷小量（无穷小）。无穷小量注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.对于x→x0：>0,>0，使得当0<

4、x-x0

5、<时,

6、f(x)

7、<,恒成立.对于x→∞：>0,M>0，使得当

8、

9、x

10、>M时,

11、f(x)

12、<,恒成立.无穷小量例如：2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二.无穷大量二.无穷大量定义1：绝对值无限增大的变量称为无穷大量.定

13、义2：E>0,某个时刻，在此时刻以后，

14、y

15、>E,恒成立.则称y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。记为：limy=∞同理可定义：正无穷大limy=+∞负无穷大limy=-∞无穷大量对于x→x0：E>0,>0，使得当0<

16、x-x0

17、<时,

18、f(x)

19、>E,恒成立.对于x→∞：E>0,M>0，使得当

20、x

21、>M时,

22、f(x)

23、>E,恒成立.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界，证三

24、、无穷小与无穷大的关系定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四.无穷小量的阶四.无穷小量的阶例如,观察各极限不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.定义：,是相同一过程的两个无穷小量.如果:例1解例2解常用等价无穷小:注上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有即α与β等价α与β互为主要部分例如,等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证意义求

25、两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。例3解注意不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系具有：自反性，对称性，传递性例4解错解例5解例6求解一解二解三例7求解关于1∞型极限的求法五.小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的

26、数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.思考题思考题解答不能保证.例有一、填空题:练习题练习题答案1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时