无穷小量与无穷大量

《无穷小量与无穷大量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节无穷小量、无穷大量一.无穷小量及其运算性质二.无穷大量一、无穷小量及其运算性质简言之,在某极限过程中,以0为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1在任何一个极限过程中,常值函数y=0均为无穷小量.由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理2.函数的极限与无穷小量的关系同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是无穷小量.同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.3.无穷小量的运算法则常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为无穷小量.在某极限过程中,无

2、穷小量与有界量之积仍是无穷小量.例2证证明有界量与无穷小量的乘积我们没有涉及两个无穷小量商的极限的情形,因为它的情形较复杂,将在以后专门讨论.注意：例3解二.无穷大量例42.无穷大量与无穷小量的关系(无穷大量的倒数为无穷小量,x0)(无穷小量的倒数为无穷大量,x0)则例7在某一极限过程中请自己根据定义自已进行证明.定理在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.不是无穷大量是无穷大量例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,

3、看个例题:例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:不一定再是无穷大量.结论:在某个极限过程中,两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.设,是同一个极限过程中的两个无穷小量.则称是的若记为高阶无穷小,此时,也可称是的低阶无穷小.若为常数,记为则称与是同阶无穷小,若为常数,则称为的k阶无穷小,记为则称是的若记为等阶无穷小,等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真.不存在,但又不是无穷大,若则称与是不能比较的无穷小.x0时的几个无穷小量的比较：例1有何想法？例2

4、证所以1cosx=O(x2)(x0).例3x0时,不可比较的无穷小.不存在,但不是无穷大,与x是例4二.关于等阶无穷小的性质和定理1.定理定理设在某一极限过程中,设在某极限过程中,~,~,则~.3.定理传递性定理无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,例如果在加减法中用等价无穷小量替代,则会产生错误:将常用的等阶无穷小列举如下:当x0时求例5解求例6解求例7解求例8解解例13变量代换四则运算等价无穷小解例14连续两次使用等价无穷小替代.等价无穷小替代解例15函数的性质等价无穷小

5、替代重要极限也可再用等价无穷小替代？请看下面的定理.解例17