无穷小量与无穷大量(V)

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1、课前练习2、对数列{xn}，若x2k-1→a(k→∞)，x2k→a(k→∞),证明：xn→a(n→∞).1、答：不能保证.例有课前练习2、对数列{xn}，若x2k-1→a(k→∞)，x2k→a(k→∞),证明：xn→a(n→∞).证：∵x2k-1→a，x2k→a(k→∞),若n=2k-1当n>N时，若n=2k上节课内容回顾§2.2函数的极限“e-d”定义注：f(x)→Ax→x0分段函数在分界点的极限必须用此充要条件来求.b)二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安

2、徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§2.3无穷小量与无穷大量一、无穷小量的概念与性质四、小结思考题InfinitelySmall(Large)Quantity安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959一、无穷小量的概念与

3、性质1.1、定义§2.3无穷小量与无穷大量1.1定义若在自变量x的某个变化过程中,f(x)以0为极限,即limf(x)=0,则称f(x)为该变化过程中的无穷小量，简称为无穷小.例1两点注意事项:①无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的;例如:②无穷小是变量，不能与很小的正数混淆；0是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小量的概念(InfinitelySmallQuantity)如：0.0…01、100-10…0……都不是无穷小量。(∵它们的极限不为0)常数中，只有0可以作为无穷小。但无穷小量未必是零！一、无穷小量的概念1.1、定义§2.3无穷小量

4、与无穷大量1.2、函数极限与无穷小量的关系1.2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);例如：有其中思考题：时，是“当是无穷小”的条件.(A)充分但非必要条件;(B)必要但非充分条件;(C)既非充分也非必要条件;(D)充分必要条件.D一、无穷小量的概念与性质1.1、定义§2.3无穷小量与无穷大量1.2、无穷小与函数极限的关系1.3、无穷小量的性质二、无穷小量的性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。注意:无限个无穷小量的和不一定是无穷小。例如：性质2有界量与无穷小量的积仍是无穷小。性质

5、2有界量与无穷小量的积仍是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小注：无穷小的商未必是无穷小量。都不是无穷小都是无穷小一、无穷小量的概念1.1、定义§2.3无穷小量与无穷大量1.2、无穷小与函数极限的关系二、无穷大量2.1、定义1.3、无穷小量的性质⑴定义：二、无穷大量(InfinitelyLargeQuantity)2.1、定义对于任意给定的正数M,在自变量的变化过程中,因变量y变化到一定程度以后,恒有

6、y

7、>M,则称y在此变化过程中为无穷大量。记简言之:绝对值无限增大的变量称为无穷大.注意：②

8、lim下未注明自变量变化趋势,指对各种极限都成立;①无穷大是变量,不能与很大的数混淆；③切勿认为无穷大的极限存在.y→∞x→+∞,-<>Û>MyMyMy.lim,,-¥=-yyMy记作为正无穷大则称若⑵正负无穷大y→+∞y→-∞例4.y=lnx何时为无穷大？解：如图所示对数函数在两个变化过程中分别为正无穷大和负无穷大.三、无穷大量(InfinitelyLargeQuantity)三、无穷大量(InfinitelyLargeQuantity)2.2、无穷大量的性质性质1无穷大与有界变量的代数和是无

9、穷大.性质2无穷大与非零常数的乘积是无穷大.例如：性质3无穷大与无穷大的乘积是无穷大.例5注:无穷大与有界变量的乘积未必是无穷大量.取X=M，当x=[M]π>X时，有：xsinx=0

10、2.1、定义2.2、无穷大量的性质1.3、无穷小量的性质定理在自变量的同一过程中,若因变量y是无穷大量,则其倒数1/y为无穷小量；若恒不为零的y是无穷