《数学分析》14无穷小量与无穷大量

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1、《数学分析》教案§５　无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。u引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：.我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：　我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量

2、与无穷大量。一、无穷小量1．定义１：设在某内有定义。若，则称为当时的无穷小量。记作：.（类似地可以定义当时的无穷小量）。例：都是当时的无穷小量；是当时的无穷小量；是时的无穷小量。2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作：.例如：是当时的有界量，即;是当时的有界量，即.注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则.区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在Ｍ>０，在定义域内每一点，都有。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一

3、种“局部”的有界。（２）性质性质１　两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质２　无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。《数学分析》教案性质３　是当时的无穷小量.例如；，.问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：.引申：同为无穷小量，，而不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是的“指数”，当时，的指数越大，它接近于０的速度越快。这样看来，当时，的收敛速度快于的收敛速度。所以其变化结果以为主。此时称是（当时）的高阶无穷小量，或称时，是的低阶无穷小

4、量。一般地，有下面定义：１．无穷小量阶的比较（主要对叙述，对其它类似）设当时，均为无穷小量。（１）若，则称时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作.即.例，.问题，此时是可说？引申与上述记法：相对应有如下记法：，这是什么意思？含义如下：若无穷小量与满足关系式，则记作.例如，（１），.（２）若.注等式，《数学分析》教案等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“”。例如：，其中，而上述等式表示函数。为方便起见，记作（１）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量。但需要注意：不存在，

5、并不意味着与不全为同阶无穷小量。如，不存在。但，所以与为当时的同阶无穷小量。由上述记号可知：若与是当时的同阶无穷小量，则一定有：。（２）若，则称与是当时的等价无穷小量，记作.例如：１）;２）.对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。定理设函数、、在内有定义，且有.(1)若，则；(2)若，则例１．求.例２．求极限.注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。

6、两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。《数学分析》教案例如.二、无穷大量１．问题“无穷小量是以０为极限的函数”。能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数当时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当时，与无限接近。例如：１），当时，与越来越接近，而且只要与０充分接近，就会无限增大；２），当时，也具有上述特性。在分析中把这类函数称为当时有非正常极限。

7、其精确定义如下：２．非正常极限定义２（非正常极限）　设函数在某内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在，当时有，则称函数当时有非正常极限，记作。注：１）若“”换成“”，则称当时有非正常极限；若换成则称当时有非正常极限，分别记作.2)关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列　当时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如：，当时，;　，，当时，.３．无穷大量的定义定义３．对于自变量的某种趋向（或），所有以为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。例如：当时是无穷大量；当时是无穷大量。注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若为时的