D14无穷小量与无穷大量(I)

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1、第一章二、无穷小的等价代换三、无穷大量一、无穷小量及其阶第四节无穷小量与无穷大量当1.定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小量,简称无穷小.时为无穷小.一、无穷小量及其阶定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.以零为极限的数列也是当n→∞时的无穷小定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.说明:2.无穷小量不是一个非常小的数，0是可以作为无穷小的唯一常数!1.无穷小首先是一个函数，其次要指明自变量趋向于什么。只有在自变量趋向确定下并引起函数值趋于0，才能称函数为无穷小。定义1.若时,函数则

2、称函数为时的无穷小量,简称无穷小.说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC其中(x)为一个无穷小定理1.(无穷小与函数极限的关系)证:仅就的情形证明,其他情形类似.必要性设,则令则其中(x)是当的无穷小,并且充分性设,(x)是当的无穷小则2.无穷小量的性质说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;定理2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质:(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;证:由已知,f在x0处是局部有界的,故恒有从而故所以(x)f(x)是当时的无穷小.(x)是当的无穷

3、小,定理3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当时的无穷小.(x)是当的无穷小,定理3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当时的无穷小.(x)是当的无穷小,定理.设f是在内有界(即)则(x)f(x)是当时的无穷小.可以简记作：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。例1.求解:利用定理3可知说明:y=0是的渐近线.都是无穷小,引例.但记作是的高阶无穷小，是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小,是的k阶无穷小记作特别取β(x)=x-x0,若则称α(x)是当x→x0时的k阶无穷小.设α(x)与β(x)是自变量x

4、有相同变化趋势的无穷小,且β(x)≠0.定义2(无穷小的阶).例2.当x→0时,试比较下列无穷小的阶:解:(1)(2)(4)例2.当x→0时,试比较下列无穷小的阶:解:(3)由上例中(2)(3)(4)可得,当x→0时,根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为:当x→0时,注意:并非每个无穷小都有阶数,比如当x→0时,例3.证明:当时,～证:～例4.证明:证:目录上页下页返回结束因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:无穷小的等价关系具有如下性质：(1)自反性：则则(2)对称性：若(3)传递性：若证明提示:二、无穷小的等价代换定理4.设α(x)与β(

5、x),都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若并且则并且例5.利用无穷小等价代换定理求以下极限解:因为所以(2)解:原式注意:应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换.(3)解:三、无穷大量(绝对值无限趋大的变量)定义3.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有定义3’.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有若在定义中改为则记作注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种

6、状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数但不是无穷大!例6.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:若则称直线为曲线的水平渐近线.如下图若为无穷小,且则为无穷大.若为无穷大,为无穷小;则据此定理(1),关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理5.在自变量的相同变化趋势下,有下述结论:说明:(1)有限个无穷大量的乘积是无穷大量;(3)无穷大量与有界量之和是无穷大量.两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量;无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.注意:大O记号设函数f(x)与g(x)定义

7、在x0的某去心邻域中,若在x0处是局部有界的,则记作.特别地,若f(x)在x0处是局部有界的,则记作f(x)=O(1).例如:思考题任何两个无穷小都可以比较吗？不能．例:当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时解.练习题练习题答案