无穷小量与无穷大量(I)

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1、7/24/20217:15AM§2.3无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量与无穷大量的关系7/24/20217:15AM1.无穷小量【定义2.5】以0为极限的变量，例1因为　　　　，变量　　　　为无穷小量。第2章极限与连续小量（简称为无穷小）。过程中，即对任意给定的　　，不等式　　　恒成立，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，若在变量　的变化则称变量　为无穷小量。称为无穷所以当　　　时，7/24/20217:15AM例2因为　　　　，变量　　　为无穷小量。例3因为　　　　，变量　　　为无穷小量。说明（1）不要将无穷小量与很小的数第2章极限与连续所以当　　　时，

2、所以当　　　时，（如　　　）混为一谈，小量的常数。0是唯一一个是无穷7/24/20217:15AM（2）无穷小量与变化过程有关。例如当　　　时是无穷小量；当　　　时就不是无穷小量。因为第2章极限与连续7/24/20217:15AM无穷小量与变量极限的关系【定理】其中　为同一变化过程中的无穷小量。证明总有那么一个时刻，恒成立。令即故　是无穷小量，证毕。第2章极限与连续在那个时刻以后，不等式且7/24/20217:15AM【定理】有界变量与无穷小量的乘积是证明即存在一个正数　，又设　是无穷小量，第2章极限与连续无穷小量。在这一时刻之后，恒有么一个时刻，即　　　，总存在那在那个时刻

3、以后，恒有设　在某个时刻之后是有界变量，7/24/20217:15AM在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后，因此，在那个较晚的时刻以后，成立，证毕。【推论】常量与无穷小量的乘积是无穷第2章极限与连续（1）和（2）都成立。恒有所以　　是无穷小量。小量。7/24/20217:15AM例4求解因为　　　　，又所以当　　　时，与无穷小量的乘积，则第2章极限与连续所以　　是有界变量是有界变量7/24/20217:15AM2.无穷大量引例讨论函数　　　　当　　　时的如图所示可以任意的大。称当　　　时，　　　　是一个无穷大量。在　无限接近1的过程中，第2章极限与连续变化趋势。7/24/202

4、17:15AM【定义2.6】若对任意给定的正数　，变量　是无穷大量，例如第2章极限与连续变量　在其变化过程中，在那个时刻以后，总有那么一个时刻，不等式　　　恒成立，则称记作或称变量　趋于无穷大。7/24/20217:15AM说明（1）无穷大量（　）不是数，（2）无穷大量与变化过程有关。但在　　　时，变量　　　　是无穷大量；在　　　时，变量　　　　不是无穷大量；第2章极限与连续不可与很大的数（如　　）混为一谈。7/24/20217:15AM（3）无穷大量一定无界；例如函数如图所示取　　　，则取　　　　，而所以，　　　时，函数无界。第2章极限与连续成立。反之，不一定无穷大量。函数

5、　　　　　　不是7/24/20217:15AM3.无穷小量与无穷大量的关系【定理】在变量　的变化过程中（1）若　是无穷大量，（2）若　　　是无穷小量，证明（1）若　是无穷大量，总有那么一个时刻，即因此　是无穷小量。第2章极限与连续则对在那个时刻之后，恒有则　是无穷小量；则　是无穷大量。7/24/20217:15AM同理可证（2），证毕。由此定理知，例第2章极限与连续以相互转化的。无穷大和无穷小的问题是可7/24/20217:15AM内容小结1.无穷大量与无穷小量的概念2.无穷大量与无穷小量的关系----互为倒数关系。3.无穷小量与变量极限的关系第2章极限与连续7/24/202

6、17:15AM备用题证要使只要取当　　　　时有即函数　　　　　是无穷大量。1.根据定义证明：第2章极限与连续时的无穷大量。函数　　　　为当7/24/20217:15AM2.根据无穷大量的定义，填写下表当　　　　时有当　　　　　　时有当　　　　　　时有当　　　　　　时有当　　　　时有当　　　　时有第2章极限与连续7/24/20217:15AM3.证明　函数　　　　在区间　　上无界，证取当　　　　　时所以函数无界。当　　　　时，而　　　时，即在　　邻域内，函数不是无穷大量。第2章极限与连续但函数不是　　　时的无穷大量。因此，总存在　　　的点，7/24/20217:15AM4.（2

7、007）第2章极限与连续解因此有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小。