无穷小量和无穷大量(I)

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1、第四节无穷小和无穷大一无穷小即若，则称是当时的无穷小1、定义如果函数当时的极限为零，则称函数是当的无穷小量.简称无穷小.对于当,有,则称是当时的无穷小.如是当时的无穷小.是当时的无穷小.0.000001不是无穷小，0是无穷小。是当时的无穷小.例1证明是的无穷小.证：因为注:①无穷小与很小的数不一样.②可以2、无穷小和函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程中，函数f(x)有极限A的充要条件是f（x）＝A+α，其中α是无穷小.即其中意义定理2有限个无穷小的和还是无穷小.证:只考虑两个无穷小的和.设,是当时的无穷小,且因为和3、无穷小的运算性质:取,则

2、当时,有所以定理得证.注只能是有限个，无穷个不行.所以对于，存在和当时,有当时,有使二者同时成立定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小。证设函数在内是有界的,即存在正数，使得对,都有.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积是无穷小.例2:求.解:因为为有界函数,且二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大一定是无界变量,但是无界变量未必是无穷大.∴无界∴不是无穷大例3证明当时为无穷大.证：对于要使>M，只要即取,则对，当时，有故缩小的技巧自己做证：

3、对于要使>M，只要取,则对，当时，有故自己做三、无穷小与无穷大的关系定理4在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且,则为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.推论有限个无穷大的乘积仍是无穷大.定理5无穷大与有界量的和仍是无穷大.*垂直渐进线如果，则称直线是的图象的垂直渐近线。如的垂直渐近线为和四渐进线*水平渐近线：如果，则称直线是的图象的水平渐近线。是水平渐近线上例中