无穷小量和无穷大量(II)

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1、第五节无穷小量和无穷大量一、无穷小量二、无穷小量阶的比较三、无穷大量四、渐近线一、无穷小量极限为零的变量称为无穷小量.定义1则称f为例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:证即，意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和(差、积）仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是

2、无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.定义:常用等价无穷小:例如,定理4(等价无穷小替换定理)证例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4解解错三、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界，证四、无穷小与无穷大的关系定理5在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为

3、无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.五、小结几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为它的渐近线方程为近线问题.下面给出渐近线的一般定义.定义4设L是一条直线,若曲线C上的动点P沿曲线无限远离原点时,点P与L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的一条渐近线(如图).LC设斜渐近线L

4、的方程为设曲线方程为:如图，由渐近线的定义，LC从而又所以，斜渐近线：的两个参数：（负方向类同）则称x=x0是曲线的垂直渐近线.定义：例9求曲线的渐近线.并且f(x)在其他点处均有有限极限，所以求得垂解直渐近线为:于是求得斜渐近线方程为作业：1、2），6）2、2）4、3）