无穷小量和无穷大量(III)

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1、第四节无穷小量和无穷大量一、无穷小量1.定义:极限为零的变量称为无穷小量.定义1如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d(或正数X),使得对于适合不等式d<-<00xx(或>xX)的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式e<)(xf,那么称函数)(xf当0xx（或）时为无穷小,记作).0)(lim(0)(lim0==xfxfxxx或例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系:证意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:

2、定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证都是无穷小推论1（在同一过程中）有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积是无穷小.二、无穷小的比较无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.例如,不可比.观察各极限定义:例1解例2解例例解4/13常用等价无穷小:定理4(等价无穷小替换定理)证注可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因

3、子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意例4解错解例5解例6解三、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界，证注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。几个常用的无穷大按阶从低到高排列为：四、无穷小与无穷大的关系定理5在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;

4、恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.五、小结几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.作业P64习题1.47、1）、3）、6）