无穷小与无穷大无穷小的比较

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1、2.4无穷小与无穷大　无穷小的比较2.4.1无穷小2.4.2无穷大2.4.3无穷小的比较1定义1.12若函数　　　　　在自变量的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中,　　为无穷小量．简称无穷小．2.4.1无穷小例如，当　　　时，　　，　　，　是无穷小量；当　　　时，　　　是无穷小量当　　　时，　　，　　是无穷小量．我们经常用希腊字母　，　，　来表示无穷小量．2注意：（1）无穷小是以零为极限的变量，常数中只有零是无穷小（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，例如:当时,为无穷小当时,就不是无穷小3定理1.2函数

2、　　以为极限的充分必要条件是：　　可以表示为　与一个无穷小量　之和．即其中　　　　．4定义1.10如果(或)时，相应的函数值的绝对值　　　无限增大，则称　　　当(或)时为无穷大量无穷大量，简称无穷大.2.4.2无穷大5如果函数　　当　　　　　　　时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大”并记为6而且，把限正值的无穷大叫做正无穷大，把限负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为例如，（1）无穷大是个变量，不是常数（2）无穷大总和自变量的变化趋势相关联注意：7时，,时，　　是无穷小例

3、1指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？解时，,时，是无穷小时，,时，是无穷大解时，,时，　　是无穷大8解时，，所以时，是无穷小时，,所以时，是正无穷大9练习一1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？是无穷大是无穷小是无穷大是无穷小10是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大112.指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小时，是无穷小时，是无穷大时，是无穷小时，是无穷大12时，是无穷小时，是正无穷大1314性质1.4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量．无穷小量的性质性质1.1有限个无穷小量的代

4、数和仍然是无穷小量．性质1.2有界变量乘无穷小量仍是无穷小量．性质1.3常数乘无穷小量仍是无穷小量．15解因为　　　　，所以　　　是有界变量；例2求　　　　　．当　　　时，　是无穷小量．根据性质1.2，乘积　　　是无穷小量．即．16练习二求下列函数的极限17，，．我们记　　　，　　　，　　　，它们都是时的无穷小量．但2.4.3无穷小的比较18，　　，　趋于零的情况11010010001000010.10.010.0010.000120.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.000000

5、0119定义1.14设　、　是同一变化过程中的两个无穷小量，(2)若　　　　(　是不等于零的常数)，则称　与　是同阶无穷小量．若　　，则称与　是等价无穷小量．(1)若　　　　　,则称　是比高阶的无穷小量．也称　是比低阶的无穷小量．20关于等价无穷小，有下面重要的性质．定理4–4设~，~，且存在，则证明：21在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种方法称为等价无穷小替换法．常用的无穷小替换有：22例4–32求极限例4–33求极限23