高等数学-第1章函数与极限-1-5无穷小阶的比较1.docx

《高等数学-第1章函数与极限-1-5无穷小阶的比较1.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.6无穷小阶的比较1无穷小的比较设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。(1)如果lim0，则称是比高阶的无穷小，记为o()；也说是比低阶的xx0无穷小。(2)如果limc(c是不为0的常数)，则称是与同阶的无穷小。xx0(3)如果lim1，则称与是等价无穷小，记作:或:。xx0(4)如果limkc(k0，c是不为0的常数)，则称是关于的k阶无穷小。xx0例如x0时，3x2o(x)，sinx:x，1cosx与x2是同阶无穷小，同时1cosx也是关于x的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，

2、x时，f(x)1sinx，g(x)都是无穷小。xx由于limf(x)lim1和limg(x)limsinx都不存在，因此，f(x)1与xg(x)xsinxxf(x)xxg(x)sinxx不能进行阶的比较。例1x0时，比较1cosx与x2的阶。21cosx2sin2x2sinx1sinx11解limlim2lim2lim21。x2x2xxx0x0x0)2x02224(22x0时，1cosx与1x2是等价无穷小。2定理1.5.1设,是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则:o()。例如x0时，1cosx:1x

3、2，故1cosx1x2o(x2)，即22cosx11x2o(x2)，于是在x0的小邻域内可以用11x2近似代替cosx。22定理1.5.2设,,,都是自变量同一变化过程中的无穷小，且:，:，若42lim存在，则limlim。证明limlimlimlimlimlim。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。例2求limsin5x3。x0(sin2x)3解x0时，sin2x~2x；又x0时5x30，所以sin5x3~5x3。因此limsin5x3lim5x35。x0(sin2x)3x0(2x)38例3求极限l

4、imtanxx3sinx。x0解tanxsinx11)sinx(1cosx)。sinx(cosxcosxx0时，sinx~x，1cosx:1x2，所以2limtanxsinxlimsinx(1cosx)limx1x212。x0x3x0x3cosxx0x3cosx2若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。2x0时几个常见的无穷小x0时，sinx:x,tanx:x，1cosx:1x2，arcsinx:x，arctanx:xln(1x):x，2ax1:x

5、lna(a0a1)，(1x)a1:ax(a0)。例4证明x0时，sinhx:ex1。证明sinhxexex(ex1)(ex1)ex12(ex1)2(ex1)1ex122(ex1)x0时，ex1:x，因此，ex1:x，故limex1limx1x02(ex1)x02x243于是sinhx11lim2()1xx0ex12即x0时，sinhx:ex1。作业:P451,2.44