高等数学-第章函数、极限与连续§.无穷小与无穷大

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1、旧课复习（5′）1．数列的极限；2．函数的极限；3．极限的四则运算；4、两个重要极限新课内容§1.3无穷小与无穷大（）1、无穷小定义如果，则称时的无穷小量，简称无穷小。例如，函数是当时的无穷小，因为，注：（1）不要把无穷小与很小的数混为一谈。无穷小表达的是量（函数）变化状态，而不是量的大小。一个量不管多么小，都不是无穷小量。零是惟一可作为无穷小的常数。（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。2、无穷大定义当时，无限增大，则称是时的无穷大量，简称无穷大。记作。例如，，。注：（1）不要把无穷大与很大的数混为一谈。（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变

2、量的变化趋势。（3）按极限的定义，为无穷大的函数的极限是不存在的，但为了讨论问题方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”。3、无穷大与无穷小的关系如果，那么；如果（），那么。证明从略。例1：计算分析：分母的极限为0，不能用商的极限法则。分子的极限不为0，如果将分式倒过来则极限为0，因此可以根据无穷大与无穷小的关系计算此极限。例2计算。分析：时分子，分母，不能使用商的极限法则，可以考虑分子分母同时除以分母的最高次幂解。对这种多项式的商求时的极限，采用分子分母同除以分母的最高次幂的方法是可取的。一般地，有（、为正整数）：。4、无穷小的性质性质1、有限个无穷小的代

3、数和仍是无穷小。性质2、有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。证明从略。由性质3可得下面推论：推论常数与无穷小的乘积仍是无穷小。证明从略。例3求。解极限不能利用极限的乘法法则计算，因为不存在。因为,即是当时的无穷小；又因为,即是有界函数。由性。五、无穷小的比较由无穷小的性质知道，两个无穷小的代数和及乘积仍然是无穷小。而两个无穷小的商不一定有同样的结论。例如，当时，、、都是无穷小，但是，,。以上不同的结果，反映了它们在趋于零的过程中，速度有快有慢。定义1设，。（1）如果，则称是比的较高阶的无穷小；（2）如果，则称是比的较低阶的

4、无穷小；（3）如果，则称与是同阶无穷小。特别地，当时，称与是等价无穷小，记作～。例如，（1）因为，所以当时，是比较低阶的无穷小；（2）因为,所以当时，与是同阶无穷小；（3）因为，所以当时，与是等价无穷小。§1.4函数的连续性（）一、函数的连续性客观世界中，变量的变化有渐变与突变两种不同的形式。比如，在三级火箭的发射过程中，一段时间内，火箭的质量随燃料的消耗而逐渐减少。但当燃料耗尽时，该级火箭的外壳突然脱落，这一瞬间火箭的质量就发生突变。从函数的观点看，火箭的质量是飞行时间的函数，在火箭的外壳脱落前，当自变量(飞行时间)变化很微小时，函数(火箭的质量)相应地变

5、化也很微小，它反映了函数是渐变的。但当火箭的外壳脱落时，函数突然地改变了。对于函数这两种不同的变化形式，通过极限的方法用连续和间断来描述。1．函数的增量定义设函数在点及其附近有定义，当自变量从变化到时，称为自变量的增量。与此同时，函数值也由变化到，即，称为函数的增量（或改变量）。例1设函数，求下列情形下函数的增量。（1）从1变到1.01；（2）从1变到。解（1）（2）2．函数在某一个点连续的定义定义1设函数在点及其附近有定义，如果，则称函数在点连续；否则称函数在点间断。注意到，当时，，定义1中的表达式可写为，即由此得函数在一个点连续的另一个定义。定义2如果函

6、数在点满足：（1）在点有定义；（2）存在；（3）。则称函数在点连续。只要不满足三个条件中的任何一个，函数就在处间断。例2考察下列函数在指定点处的连续性。（1），在点处；（2），在点处。（3），在点处。解（1）因为函数在处没有定义，不满足第一个条件，所以函数在点间断。（2）函数在点有定义，即。又因为，且所以函数在点连续。（3）函数在处间断。定义3如果，则称函数在点左连续；如果，则称函数在点右连续。显然，函数在点连续的充分必要条件是函数在点既左连续，又右连续。3、函数在区间上的连续性定义如果函数在开区间内每一点都连续，则称函数在开区间内连续；如果函数在开区间内连

7、续，且在右端点左连续，在左端点右连续，则称函数在闭区间上连续。4．初等函数的连续性由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则可得出以下定理:定理1如果两个函数与都在点连续，则它们的和、差、积、商（分母不等于零）也都在点连续。证明从略。由此推出，有限个在点连续的函数的和、差、积、商也都在点连续。关于复合函数的连续性，有以下定理。定理2设函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数在点连续。证明从略。特别指出，基本初等函数在其定义域内都是连续的。由基本初等函数的连续性以及定理1、定理2可得到结论：一切初等函数在其定义区域内都是连续的。上述结论也为求函数的极限提

8、供了一种简单的方法，如果是初等函数，且是函数定义区间