§1.4 无穷小与无穷大

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1、无穷小(infinitelysmall)无穷大(infinitelygreat)无穷小与无穷大的关系§1.4无穷小与无穷大第一章函数与极限1函数与极限1.定义极限为零的变量称为无穷小量,简称如,无穷小是指函数变化的趋势.无穷小.一、无穷小在某个过程中无穷小与无穷大2定义1记作1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一的数.注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.“无限制变小的量”无穷小与无穷大32.无穷小与函数极限的关系定理1无穷小与无穷大例4在同一过程中,有限个无穷小的代数和定理2仍是无穷小.3.无穷小的运算性质

2、无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注不是无穷小.无穷小与无穷大5在同一过程中,有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.推论1的乘积是无穷小;推论2推论3无穷小与无穷大定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.6二、无穷大在某一极限过程中函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大.如,是无穷大;是无穷大.无穷小与无穷大记作特殊情形:正无穷大,负无穷大．7(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数,注(3)无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大.但是无界函数无穷小与无穷大8

3、如是无界函数,但不是无穷大.无穷小与无穷大9在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;定理4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大关于无穷大的讨论,意义无穷小的讨论.都可归结为关于10∗两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;∗有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;∗有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积仍为无穷大;∗用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.容易证明例解无穷小与无穷大11