第5讲§1.5无穷小与无穷大.

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1、本讲学习要求：1.理解无穷小的定义；2.把握函数极限与无穷小间的关系；3.了解无穷小的阶，能熟练运用等价无穷小计算相应的函数极限；4.了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。第4讲§1.5无穷小与无穷大一、无穷小:注意:在某极限过程中,以0为极限的变量称该极限过程中的一个无穷小.定义:无穷小的运算性质:1、有限个无穷小之和仍是一个无穷小.2、有界函数与无穷小之积仍为无穷小.推论：常数与无穷小之积仍为无穷小.3、有限个无穷小之积仍为无穷小.注意：以上“有限”改为“无限”就不一定成立了。有界量与无穷小量的乘积证例1函数的极限与无穷小的关系:定理例如二、无穷大:例如：注意:无穷大

2、是按绝对值定义的.定义:注意:无穷大是按绝对值定义的.思考：解无穷大是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大?例2三.无穷大量与无穷小量的关系则引例无穷大量的倒数为无穷小量,x0在某一极限过程中定理例3解在某一极限过程中定理由于无穷大与无穷小是倒数关系,因此就只须研究无穷小.x0．10．010．0010．0001．．．2x0．20．020．0020．0002．．．3x0．30．030．0030．0003．．．x20．010．00010．0000010．00000001．．．四、无穷小的比较：定义:设（不为零）,是同一个极限过程中的两个无穷小量.则称

3、是的高阶无穷小,记作(1)若此时也称是的低阶无穷小.x0时的几个无穷小量的比较：例4例5证有何想法？六、常用等价无穷小可以证明,当时,有下列常用等价无穷小关系:七、等阶无穷小及其应用等价无穷小替换定理：设且存在,则证注意:(1)(2)不能滥用等价无穷小代换;对于代数和中各无穷小不能分别替换.无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,设且存在,则替换定理：如果在加减法中用等价无穷小量替代,则会产生错误:例如此题利用等价无穷小量替代定理,如何计算?例6解当时,解例7当时,课外练习:练习卷§1.5无穷小与无穷大