[工学]1-5无穷大与无穷小

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1、一、无穷小定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.例如：Remark:（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.（2）无穷小是变量的一种变化趋势;例如,证2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性意义将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证(不证)推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数（有界量）与无穷小

2、的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,是无界变量，但不是无穷大量但是无界变量未必是无穷大(思考)不是无穷大．无界，证证三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证（不证）意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、无穷小的阶及其比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限定义:例如，例4解？？？是不是任意两个无穷小都可以进行阶的比较不

3、存在且不为无穷大证必要性充分性意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用等价无穷小:例5解五、等价无穷小代换定理3(等价无穷小代换定理)证例6解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小一般不能分别代换.注意例7解加减法中一般不用等价无穷小代换小结小结1、主要内容:定义;关系;运算性质.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷

4、小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.3、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.4、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.作业P58:3.③⑦4.③⑧5.②④⑦⑧