习题1.5-无穷小与无穷大.pdf

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1、《微积分A》习题解答习题1.5(P57)1.下列函数在指定的变化过程中哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？1x−2+x+(1).(x→)0(2).lnx(x→0)(3).e(x→0)x11x−x2π(4).e(x→0)(5).1−e(x→∞)(6).tanx(x→−)2答：(4)、(5)为无穷小量；(1)、(2)、(3)、(6)为无穷大量.2.下列函数在x的什么趋势之下为无穷小量，什么趋势之下为无穷大量？2x+1x−1(1).(2).3x−2(3).3x−2x−1−xsinx(4).e(5).0(≤x≤2π)1+cosx

2、+2答：无穷小量：(1).x→−1，x→∞(2).x→(3).x→1或x→−13(4).x→+∞(5).x→0或x→2π无穷大量：(1).x→1(2).x→+∞(3).x→2(4).x→−∞(5).x→π3.下列各题中的无穷小量是等价无穷小、同阶无穷小、还是高阶无穷小？(1).1−x−1与x(x→)0x−1−x−121解：lim=lim=−，故当x→0时1−x−1与x为同阶无穷小.x→0xx→0x2221(2).x+2−x+1与(x→∞)2x1211++1+2x2+2+x2+1x2x2x解：lim=lim=lim=0

3、x→∞22x→∞x2x→∞xx+2−x+1122故当x→∞时是x+2−x+1的高阶无穷小.2x1−x(3).与1−x(x→)11+x第1章极限与连续第5节无穷小与无穷大1/6《微积分A》习题解答1−x1+x1(−x)⋅1(+x)1(+x)解：lim=lim=lim=1x→11−xx→11(+x)⋅1(−x)x→11(+x)1−x故当x→∞时与1−x是等价无穷小.1+x(4).arcsinx与x(x→)0arcsinx令t=arcsinxt解：limlim=1x→0xt→0sint故当x→0时arcsinx与x是等价无

4、穷小.(5).arctanx与x(x→)0arctanx令t=arctanxt解：limlim=1x→0xt→0tant故当x→0时arctanx与x是等价无穷小p(6).sinx与x(p>)0(x→)0⎧0p>1psinxsinxp−1⎪解：lim=lim⋅sinx=⎨1p=1x→0xx→0x⎪⎩∞01时sinx是x的高阶无穷小；p=1时sinx与x是等价无穷小；p0

5、imxsin=1+0=1x→0x2x→0x2312故当x→0时,x+xsin与x是等价无穷小.x8+(8).x+x与x(x→0)31x+xx+x解法1：lim=lim=limx4+x4=0+8+1+x→0xx→0x→0x4第1章极限与连续第5节无穷小与无穷大2/6《微积分A》习题解答4x+x2x2x8解法2：0≤≤≤=2xx∈)1,0(888xxx8x+xlimx=0，由夹逼定理得lim=0++8x→0x→0x+8故当x→0时,x+x是x的高阶无穷小.4.当x→0时，试确定下列无穷小量的阶.(1).x+sinxx+s

6、inxsinxx解：lim=1+lim()=1+lim()=1+limx=1x→0+x→0+x→0+x→0+xxx1故x+sinx为阶无穷小.22(2).x+x+3x23x+x+3x解：lim=1+lim(x+x2)=1x→0+x→0+x21故x+x+3x为阶无穷小.2(3).x+x+x31x+x+xx+x+x解：lim=lim=limx4+x2+1=1+8+1+x→0xx→0x→0x41故x+x+x为阶无穷小.831(4).x4+x3315x4+x3解：lim=lim(x12+)1=1x→01x→0x3311故x4

7、+x3为阶无穷小.3第1章极限与连续第5节无穷小与无穷大3/6《微积分A》习题解答(5).tanx−sinx2tanx−sinxtanx1(−cosx)x(x)211解：lim=lim=lim=lim=x→0x3x→0x3x→0x3x→022故tanx−sinx为3阶无穷小.3(6).cosx−13cosx−1cosx−1解法1：lim=limx→0x2x→02323x(cosx+cosx+)12−x21=lim=−x→023236x(cosx+cosx+)1xn解法2：利用等价无穷小代换：1+x−1~(x→)0n2

8、11x123cosx−1=31+(cosx−)1−1~(cosx−)1~(−)=−x(x→)033263故cosx−1为2阶无穷小.2(7).1+tanx−1221+tanx−1tanx解法1：lim=limx→0x2x→0x2(1+tan2x+)12x1=lim=x→0x2(1+tan2x+)1221212解法2：1+tanx−1~tanx~