167;2.4无穷小与无穷大.ppt

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1、无穷小(infinitelysmall)无穷大(infinitelygreat)小结思考题作业无穷小与无穷大的关系§2.4无穷小量与无穷大量第二章极限理论1拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法.的理论称为“无穷小量分析”.常常把整个变量欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以《无穷小分析引论》.即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家(1642—1727)NewtonLagrange意大利数学家、力学家(1736—1813)瑞士数学家(17

2、07—1783)Euler都可以转化为一种简单而重要的变量,数学分析的历史表明,较复杂的变量,很多变化状态比21.定义极限为零的变量称为无穷小量,简称如,无穷小是指函数变化的趋势.无穷小.一、无穷小在某个过程中无穷小与无穷大3定义1记作1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一的数.注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.“无限制变小的量”无穷小与无穷大42.无穷小与函数极限的关系定理1无穷小与无穷大5例无穷小与无穷大例已知求的值.6在同一过程中,有限个无穷小的代数和

3、证定理2仍是无穷小.3.无穷小的运算性质取恒有恒有恒有的两个无穷小,时当¥®x7无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注不是无穷小.无穷小与无穷大8定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例如9在同一过程中,有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小.推论的乘积是无穷小;推论推论无穷小与无穷大例如10二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.如,是无穷大;是无穷大.无穷小与无穷大11定义2记作特殊情形:正无穷大,负无穷大．定义12(1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界

4、函数,注(3)无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大.但是无界函数无穷小与无穷大13不是无穷大．无界，14证例的图形的铅直渐近线(verticalasymptote).结论无穷小与无穷大铅直渐近线15在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;证定理恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系此时对使得当无穷小与无穷大16关于无穷大的讨论,意义无穷小的讨论.都可归结为关于在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;定理恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.此时对使得当,00时d<-

5、与无穷大17∗两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;∗有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;∗有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积仍为无穷大;∗用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.容易证明例解无穷小与无穷大18例设在某一变化过程中，则必有19都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.机动目录上页下页返回结束四、无穷小量的阶20定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作机动目录上页下

6、页返回结束21例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限返回22无穷小的概念;无穷小的运算;无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系.无穷小与无穷大四、小结定理1定理223无穷小与无穷大思考题1993年考研数学三,3分A.无穷小量B.无穷大量C.有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量D24