§1.4无穷小与无穷大

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1、§1.4无穷大与无穷小对于比较复杂的函数.需要介绍极限的运算法则.首先来介绍无穷大和无穷小的概念.一、无穷大我们把绝对值无限增大的变量称为无穷大.下面给出精确的定义.定义:如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数(或X),使得对于适合不等式0<

2、x–x0

3、<(或

4、x

5、>X)的一切x,对应的函数值f(x)都满足

6、f(x)

7、>M.那末称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时为无穷大.按照极限的定义知:无穷大是极限不存在的一种特殊情况.为了便于叙述函数的这一特殊性态,此时我们也称“函数的极限为无穷大”,

8、并记作特殊情形:正无穷大,负无穷大.即注意:1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.例如,函数当但所以时,不是无穷大!这是一个无界变量,但不是无穷无大.考察下面的子列:再如,当x→0时,故无界.故它不是无穷.证:定义:如果,则称直线x=x0是函数y=f(x)的图形的垂直渐进线.例1:证明二、无穷小在实际应用中,经常会遇到极限为0的变量.对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有理论价值,值得我们单独给出定义.我们称极限为零的变量为无穷小.下面给出精确的定义.定

9、义:如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或X),使得对于适合不等式0<

10、x–x0

11、<(或

12、x

13、>X)的一切x,对应的函数值f(x)都满足

14、f(x)

15、<.那末称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时为无穷小,即∴函数是当x→∞时的无穷小.∴数列是当n→∞时的无穷小.例如:∴函数sinx是当x→0时的无穷小.注意:1.称函数为无穷小,必须指明自变量的变化过程;2.无穷小是变量,不能与绝对值很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.证明:必要性.设则>0,>0,使得0<

16、x–x0

17、

18、<时,恒有

19、f(x)–A

20、<成立.令(x)=f(x)–A,则

21、(x)

22、=

23、f(x)–A

24、<.所以(x)为无穷小.且f(x)=A+(x).充分性.设f(x)=A+(x),其中A为常数,(x)是当x→x0时的无穷小.于是

25、(x)

26、=

27、f(x)–A

28、.由于(x)是当所以,>0,>0,使得0<

29、x–x0

30、<即

31、f(x)–A

32、<成立.从而x→x0时的无穷小,时,恒有

33、(x)

34、<,定理1:f(x)=A+(x)其中(x)是当x→x0时的无穷小.无穷小与函数极限的关系:无穷小与无穷大的关

35、系定理2:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证:∴>0,>0,使得0<

36、x–x0

37、<时,有

38、f(x)

39、>1/成立.∴M>0,>0,使得0<

40、x–x0

41、<时,有

42、f(x)

43、<1/M成立.意义:无穷大问题都可归结为无穷小问题.三、无穷小的运算性质:定理3:在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证:注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理4:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1:在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2:常数与无穷小的

44、乘积是无穷小.则M>0,1>0,使得0<

45、x–x0

46、<1时,恒有

47、u

48、M成立.证:设函数u在U0(x0,1)内有界,则>0,2>0,使得0<

49、x–x0

50、<2时,恒有取=min{1,2},则当0<

51、x–x0

52、<时,恒有又设是当x→x0时的无穷小,

53、u·

54、=

55、u

56、·

57、

58、所以,当x→x0时,u·仍为无穷小.推论3:有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小.1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的可表示无穷

59、小的数.(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.(3)无穷大是无界变量,但无界变量未必是无穷大.(4)无穷小与无穷大是相对于过程而言的.四、小结