1.4-5 无穷小与无穷大 极限运算法则

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1、第一章第四节函数与极限无穷小与无穷大主要内容一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、无穷小定义1若x→口时,函数f(x)→0,则称函数f(x)为x→口时的无穷小.例如:lim(x−1)=0,函数x−1为x→1时的无穷小;x→111lim=0,函数为x→∞时的无穷小;x→∞xx11lim=0,函数为x→−∞时的无穷小.x→−∞1−x1−x暨南大学电气信息学院苏保河主讲定理1(无穷小与函数极限的关系)limf(x)=Af(x)=A+α,其中α为x→口x→口时的无穷小.证:limf(x)=Ax→x0∀ε>

2、0,∃δ>0,当00,总存在δ>0(正数X),使对一切满足不等式0X)的x,总有f(x)>M恒成立,①则称函数f(x)当x→x0(x→∞)时为无穷大,记作limf(x)=∞(limf(x)=∞).x→x0x→∞limf(x)=+∞:f(x)>Mx→x0在定义中将(x→∞)①式改为limf(x)=−∞:f(x)<−Mx→x0(x→∞)

3、暨南大学电气信息学院苏保河主讲注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种变化趋势.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,f(x)=xcosx,x∈(−∞,+∞)f(2nπ)=2nπ→∞(当n→∞)πy但f(+nπ)=02y=xcosx∴x→∞时,f(x)不是无穷大!ox暨南大学电气信息学院苏保河主讲1例.证明lim=∞.x→0x11证:[0∀>M,欲使fx()==>M,只要xx100<−0,∃δ=>0,当0M,由定义lim=∞.y=1xx→0xx说明:若limf(x)=∞,

4、则直线oxx→x0x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.暨南大学电气信息学院苏保河主讲三、无穷小与无穷大的关系定理21若limf(x)=∞,则lim=0;x→口x→口f(x)1若且limf(x)=0,f(x)≠0,则lim=∞.x→口x→口f(x)暨南大学电气信息学院苏保河主讲第一章第五节函数与极限极限运算法则主要内容1.极限的四则运算法则2.有界函数与无穷小的乘积暨南大学电气信息学院苏保河主讲1.极限的四则运算法则定理1若lim()fxA=,lim()gxB=,则有1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A

5、±B2)lim[f(x)g(x)]=limfB(x)limg(x)=A3)如果还有条件B≠0,则有f(x)limf(x)Alim==g(x)limg(x)B注定理1可推广到有限个函数和数列极限的情形.暨南大学电气信息学院苏保河主讲定理1.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B证:因为limf(x)=A,limg(x)=B,所以f(x)=A+α,g(x)=B+β其中α,β为无穷小,于是f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β)易知α±β是无

6、穷小,由极限与无穷小的关系:lim[f(x)±g(x)]=A±B.暨南大学电气信息学院苏保河主讲2.有界函数与无穷小的乘积定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证设u是有界函数,α是x→x0时的无穷小.因为u是有界函数,不妨设u≤M.Qlimα=0,∴∀ε>0,∃δ>0,x→x0oε当x∈U(x0,δ)时，α<恒成立,M=εuαuα

7、定理2可知lim=limsinx⋅=0.xx→∞x→∞xsinx说明:y=0是y=的水平渐近线.x暨南大学电气信息学院苏保河主讲3x−1例2.求lim.2x→2x−5x+333lim(x−1)x−1x→2解:lim=22x→2x−5x+3lim(x−5x+3)x→23limx−lim1x→2x→2=2limx−lim5x+lim3x→2x→2x→232−17==−.232−5×2+3注分子分母极限均存在,且分母不为0,用代入法.暨南大学电气信息学院苏保河主讲2x−4x+30例3.求lim.[型]x→3x2−902x−4x+3(x−3)(

8、x−1)解:lim=lim2x→3x−9x→3(x−3)(x+3)x−1=limx=3时分母为0,x→3x+3分子为0.21==.630注对型,约去极限为0的公因子.0暨南大学电气信息学院苏保河主讲2x−3