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《无穷大与无穷小极限运算法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节极限运算法则一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”.牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法.的理论称为“无穷小量分析”.常常把整个变量欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以《无穷小分析引论》.即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家(1642—1727)NewtonLagrange意大利数学家、力学家(1736—1813)瑞士数学家(1707—1783)Euler都可以转化为一种简单而重要的变量,数学分析的历史表明,较复杂的变量,很多变化
2、状态比本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。1.定义极限为零的变量称为无穷小量,简称如,无穷小是指函数变化的趋势.无穷小.一、无穷小在某个过程中定义1记作1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆;2)零是可以作为无穷小的唯一的数.注“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的.“无限制变小
3、的量”3)称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例解先变形再求极限.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小例1.求解:利用定理3可知二、无穷大绝对值无限增大的变量称为
4、无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.如是无界函数,但不是无穷大.因为取而取当所以f(x)不是无穷大!证例的图形的铅直渐近线(verticalasymptote).结论铅直渐近线三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.∗两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;∗有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;∗有非零
5、极限的变量(或无穷大)与无穷大之积仍为无穷大;∗用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.容易证明例解四、极限运算法则定理1证由无穷小运算法则,得有界，注①此定理对于数列同样成立②此定理证明的基本原则：③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数④(2)有两个重要的推论推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2⑤定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立定理2那末如果提示:因为数列是一种
6、特殊的函数,故此定理可由前面的定理直接得出结论.定理3证由定理1(1),由保号性定理,即故有有注意应用四则运算法则时,要注意条件:参加运算的是有限个函数,它们的极限商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算,因为不是数,它是表示函数的一种性态.都存在,五、求极限方法举例解例小结则有则有解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,例得解例消去零因子法再求极限.方法分子,分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子例解无穷小因子析出法分子,分母的极限均为无穷大.方法先用去除分子分母,分出无穷小,再求极限.先将分子、分母
7、同除以x的最高次幂,无穷小分出法以分出再求极限.求有理函数当的极限时,无穷小,小结例解例解先作恒等变形,和式的项数随着n在变化,再求极限.使和式的项数固定,原式=不能用运算法则.方法例解“根式转移”法化为型不满足每一项极限都存在的条件,不能直接应用四则运算法则.分子有理化练习解原式=解原式=例解例解练习练习x=3时分母为0!解练习设函数是由函数与函数复合而成,有定义,若且存在有则定理4(复合函数的极限运算法则))]([xgfy=)(ufy=)(xgu=)]([xgfy=,)(0uxg¹六、复合函数求极限证由极限定
8、义得化为如果函数满足该定理的条件,那么作代换可把求例求极限:解可看作与复合而成.并且因而例.求解:令已知∴原式=例解原式=这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法.故1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法:对某些不能直接利用四则运算法则的极限,有时可采用下述方法:(1)利用无穷小与无穷大互为倒数的关系;(2)利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质;(4
