无穷小,无穷大,极限的运算法则.ppt

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1、第四节无穷小与无穷大无穷小无穷大无穷小与无穷大之间的关系无穷小与函数极限之间的关系无穷小的性质1一.无穷小的概念:---描述性定义.无穷小1:成立,成立,无穷小2:第四节无穷小与无穷大2同样可以定义:如:注：①无穷小是以0为极限的函数.③说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。如：函数但当时，的极限为1.无穷小的唯一常数．②绝对值很小的数不是无穷小，无穷小是变量.０是作为3证对要使取则当恒成立。当时为无穷小。所以例1用定义证明：当时为无穷小。分析：要证明当时为无穷小，对只要能找到当恒有成立即可。4定理1证设

2、令则是当时的无穷小。函数极限与无穷小之间的关系:只证的情况。5二、无穷大----描述性定义.无穷大:注意：1.在某个过程中，变量f（x）为无穷大时，f(x)的极限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即:63.说一个函数为无穷大，必须与自变量的变化过程相联系。4.无穷大必是无界变量；但无界变量不一定是无穷大。2.分析：若函数时为无穷大，当由定义，对7取则当时，证38无穷大与无穷小的关系:定理2:证910定理1有限个无穷小之和是无穷小。无穷小的性质:证:11注意：无穷多个无穷小之和不一定是无穷小。（记录）12证则使得对于

3、成立。设设函数在的某一去心邻域内是有界的，则对于当时，恒有取则当同时成立。及从而所以，是当时的无穷小。定理2:有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论2:有限个无穷小的乘积仍为无穷小.13分析：14第六节极限的运算法则极限的运算法则极限的四则运算法则复合函数的极限运算法则15第六节极限的运算法则定理3可推广到多个函数16定理3证明：由由定理117定理3证明：由于是18定理4定理5(极限的有序性）证:19无穷小的倒数是无穷大20有理分式的极限：(1)分母的极限不为零:有理分式:21(

4、2)分母极限为零，分子极限不为零的有理分式函数极限。由无穷大与无穷小的关系，知道原极限不存在（无穷大），故：解(3)分子、分母极限都为零。（消除致零因子）解22附：多项式除法消去致零因子，即进行除式为（x-a)的多项式除法23(4）两个都是无穷大的有理分式函数之差的极限24解：25注：对这种类型，可以用x的最高次幂，分别除分子、分母的各项，则有以下的结论：今后可以直接运用上述结论。斜渐近线：设若则称是的一条斜渐近线。Oxy26例10曲线的斜渐近线方程为——————。(2005年研究生入学试题，数学一）解：则即27注：

5、则若（2）若则2829