无穷小无穷大极限运算法则

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1、§1.2.2无穷小量与无穷大量一.无穷小量.1.定义.在某一变化过程中，以零为极限的变量,称为在此变化程中的无穷小量,简称无穷小。例：在n→∞时是无穷小量∴变量在x→1时是无穷小∴变量在x→+∞时是无穷小量2.无穷小量的性质性质1.性质2.(简表为)0±0→000→0可推广到有限个情况0+0+0+…→0000…→0性质3.有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量.N(x)0→0C0→0特别例如=00(0-0→0)=0N(x)是有界量二.无穷大量1.定义.在某一变化过程中,绝对值无限增大的变量称为在此变化过程中的无穷大量.简称无穷大。记作(含+∞,-∞,這两种情况变量的绝对值均

2、会无限增大)但为了方便起见也说在此过程中函数的极限为无穷大y0x12.无穷大量与无穷小量的关系定理.在同一变化过程中,如果是无穷大量,那么是无穷小量；即若若且则是同一过程的无穷大量；即是无穷小量简记为：无穷小和无穷大互为倒数三.无穷小量的比较当X→0时,变量2X,5X,都是无穷小量,但它们趋于零的速度不同,趋于零的速度比2x,5x趋于零的速度快得多！看下表X1,0.1,0.001,0.00001,…2x2,0.2,0.0020.00002,…5x5,0.5,0.005,0.00005,…1,0.001,0.000000001,0.000000000000001,…为了比

3、较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以下几个概念：设是同一过程的无穷小量1.若称2.若称3.若称特别当c=1时即当时称例试比较下例无穷小量的阶⑴当x→0时,解：∵0∴当x→0时⑵当x→3时解：∵6∴当x→3时是同阶无穷小⑶当x→0时解：∵1∴当x→0时是等价无穷小§1.2.3极限运算法则定理设函数在自变量x的同一变化过程中都有极限：lim=A,lim=B则有⑴⑵推论1推论2⑶(其中lim)下面利用运算法则进行计算.例1.求下列极限：1.=2×1-1=12.例2.求解原式=暂时不能用商的极限法则(为什么？)例3.求也暂时不能用商的极限法则,为什么？解原式=而0∴原

4、式=∞例4.求解：原式=例5.求解：原式==0