无穷小与无穷大、极限运算法则少课时

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1、第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则极限运算法则当一、无穷小运算法则1、无穷小定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小.时为无穷小.机动目录上页下页返回结束说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!时,函数(或)则称函数为定义1.若(或)则时的无穷小.机动目录上页下页返回结束其中为时的无穷小量.定理1.(无穷小与函数极限的关系)无穷小的重要性质有界量与无穷小量的乘积是无穷小；有限多个无穷小量的和是无穷小；常数与无穷小量的乘积是无穷小；有限多个无穷小量

2、的乘积也是无穷小。2、无穷大定义2.若任给M>0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在机动目录上页下页返回结束注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束例.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:机动目录上页下页返回结束3、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关

3、于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有定理3.若B≠0时，说明:定理可推广到有限个函数加减与乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)且定理4.若定理5.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3直接得出结论.极限的四则运算基本运算见教材P45：例1，例2设n次多项式试证设有分式函数其中都是多项式,试证:若说明:若不能直接用商的运算法则.一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)三、复

4、合函数的极限运算法则说明：在定理6的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序。定理6内容小结1.极限运算法则(1)无穷小无穷大运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子、分子有理化时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法