高等数学1.4无穷大与无穷小的关系

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1、第一章函数与极限第四节无穷大与无穷小的关系•一、无穷小•二、无穷大•三、无穷大与无穷小的关系§4.无穷小与无穷大.一、无穷小定义:极限为零的函数称为无穷小.如lim()fx0lim()fx0.xxx0(X)0(xX)定义1:0,,0当0xx0时，有f()x则称fx()是xx时的无穷小,记为0(x)limf(x).0(limf(x)0).xxx0极限为零的函数称为无穷小.例如,limfx()0;limf(x).0xxx011lim,0函数是当x时的无穷小x

2、xxnn(1)(1)lim0,数列{}是当n时的无穷小nnn注意（1）无穷小是函数,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.极限为零的函数称为无穷小.2、无穷小与函数极限的关系:定理1limf(x)Af()xA(),xxx0其中(x)是当xx时的无穷小.0证:必要性设limfxA(),0,,0xx0当0xx时，有fxA().0令fxA()(),x()x有lim()x0,f()xA().xxx0其中(x)是当xx时的

3、无穷小.0极限为零的函数称为无穷小.定理1limf(x)Af(x)A(x),xx0其中(x)是当xx时的无穷小.0证充分性设f()xA(),x其中(x)是当xx时的无穷小.0fxA()()x因为(x)是当xx时的无穷小.00,当0xx时，,00()x,即fxA(),limf()xAxx0二、无穷大定义:绝对值无限增大的函数称为无穷大.11如x0时，，称为x0时的无穷大xx如lim()fx;lim()fxxxx0(X)0(xX)定

4、义2M0,0,当0xx时，有0f(x)M则称fx()是xx时的无穷大,记为0(x)limf(x).(limf(x)).xxx0绝对值无限增大的函数称为无穷大.如lim()fxxx0()x特殊情形：正无穷大，负无穷大．lim()fx(l或im()fx)xxxx00()xx()注意（1）无穷大是函数,不能与很大的数混淆;（）2limfx()是指极限不存在xx0（3）说无穷小或无穷大，要指明自变量的变化过程.1例如,:当x0时，是无穷大;当x时，是

5、无穷小;x无穷大limf(x)yxx0M>0，>0，当0<

6、x–x

7、<，0恒有

8、f(x)

9、>M.f(x)MM邻域，xx0的空心邻域，00x0xx该邻域内所有点相应0的曲线上的点落在绿色区域内.–M2无穷大limf(x)yxx0M>0，>0，当0<

10、x–x

11、<，0恒有

12、f(x)

13、>M.f(x)MM邻域，xx0的空心邻域，00x0xx该邻域内所有点相应0的曲线上的点落在绿色区域内.–M–M.2.无穷大limf(x)yxx0M>0，>0，当0<

14、x–x

15、<，M0M

16、恒有

17、f(x)

18、>M.MMMf(x)MMM邻域，xx0的空心邻域，00x0xx该邻域内所有点相应0的曲线上的点落在绿色区域内.–––MMM–M–M–M–M.2无穷大limf(x)yxx0M>0，>0，当0<

19、x–x

20、<，M0恒有

21、f(x)

22、>M.f(x)MM邻域，x0的空心邻域0，x0x0x0x该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿–M色区域内.–M.2无穷大limf(x)yxx0M>0，>0，当0<

23、x–x0

24、<，M恒有

25、f(x)

26、>M.f(x)M邻域，Mx的空心邻

27、域，0xx000该邻域内所有点相应x0x的曲线上的点落在绿色区域内.–M因此，无穷大的–M定义也称无穷大的MM—定义.limf(x)(x)yM0,(X)0当xX时f(x)M有fx()Mx–X0XM邻域，–MX>0，当X<

28、x

29、该邻域内所有点相应的曲线上的点落在绿色区域内.limf(x)xx0M,0,0当0xx时有f(x)M01例证明lim.x1x11y1x1证M.0要使M,x11只要x1,取1,MM111当01x时，则有M.

30、lim.Mx1x1x1limf(x)xx0M,0,0当0xx时有f(x)M01例证明lim.x1x11y定义：如果lim()fxx1xx0则直线xx是函数yfx()0图形的铅直渐近线定义：如果lim()fxc,则直