高等数学无穷小与无穷大

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1、中国药科大学数学教研室杨访第四节无穷小与无穷大本节概要无穷小是微积分中非常重要的概念，这是因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上讲，微积分也可称作无穷小分析。无穷大概念由于其和无穷小概念有着密切联系，因而也在微积分讨论中起着重要作用。一.无穷小(1)无穷小的概念无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微积的讨论中有着特殊重要作用。无穷小概念与自变量的一定变化趋势相对应，以下就两种主要的情形

2、给出无穷小的定义。1.无穷小的概念及其定义(2)无穷小的定义如果x→x0时，函数(x)的极限为0，那么(x)叫做x→x0时的无穷小。如果x→时，函数(x)的极限为0，那么(x)叫做x→时的无穷小。如果n→时，数列xn的极限为0，那么xn叫做n→时的无穷小。(3)无穷小举例因为，故函数f(x)=sinx是x→0时的无穷小。因为，故函数f(x)=a-x是x→+时的无穷小。因为当

3、q

4、<1时，故数列qn(

5、q

6、<1)是n→时的无穷小。因为lim0=0，故常数0是无穷小。例：根据定义证明：当x→3时，是无穷小。按定

7、义证明当x→3时，给定函数是无穷小，就是对任意给定的正数，要设法说明存在正数，使得当0<

8、x-3

9、<时有要说明这样的存在，最直接的办法就是将找出来。为确定的值，关键是导出关系式分析证从所证关系式出发找因为故对任意给定的正数，要使取=，则当0<

10、x-3

11、<时有由无穷小的定义：当x→3时，是无穷小。无穷小的重要性在于它与函数极限有着密切关系，这种关系对函数极限的讨论具有重要意义。同时，无穷小又具有简单的运算性质，利用这些性质可方便地讨论函数极限的运算性质。在自变量的某个变化过程中，函数f(x)有极限A的充分必

12、要条件是f(x)=A+(x)，其中(x)是同一变化过程中的无穷小。定理1极限存在的一种充要条件(1)无穷小与函数极限的关系2.无穷小的性质就x→x0的情形证明。设，要证f(x)=A+(x)，其中因为，故对>0，存在>0，使得当0<

13、x-x0

14、<时，

15、f(x)-A

16、<.令：(x)=

17、f(x)-A

18、，则由极限定义有且有f(x)=A+(x).按定义进行证明证·必要性·充分性设f(x)=A+(x)，，要证由条件有

19、f(x)-A

20、=

21、(x)

22、.因为故由无穷小的定义知：对>0，存在>0，使得当0<

23、x-x0

24、

25、<时有

26、f(x)-A

27、=

28、(x)

29、<.由极限定义知(2)无穷小的代数运算性质以三个无穷小的情形为例，定理可叙述为：在自变量的某个变化过程中，若lim(x)=0，lim(x)=0，lim(x)=0，则lim[(x)(x)(x)]=0.此处的无穷小之和实际是代数和，按归纳法原理，为证有限个无穷小的代数和仍是无穷小，只需证明两个无穷小的代数和是无穷小。为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。定理2有限个无穷小的和也是无穷小分析证根据无穷小的定义进行证明证明x→x0时的情形。设由极限定义，对>0，存在1

30、,2,3>0，使得当0<

31、x-x0

32、<1时，

33、(x)

34、</3；当0<

35、x-x0

36、<2时，

37、(x)

38、</3；当0<

39、x-x0

40、<3时，

41、(x)

42、</3.取=Min{1,2,3}，则当0<

43、x-x0

44、<时有

45、(x)±(x)±(x)

46、<

47、(x)

48、+

49、(x)

50、+

51、(x)

52、</3+/3+/3=.由极限定义有定理说明按归纳法原理，由两个无穷小的和是无穷小就可推广到有限个无穷小的和也是无穷小，但不能推广到无穷的情形，即无穷多个无穷小的和未必是无穷小。反例：设，则对每个k有记：，则有故无穷多

53、个无穷小的和未必是无穷小。结论不能推广到无穷多个无穷小情形定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小函数的有界性概念是对数集而言的，对给定函数，按所对应的数集的不同有相应不同的有界性意义，因而对于给定无穷小的不同形式，定理意义也相应不同。若(x)当x→x0时为无穷小，u(x)在x=x0的邻域内有界，则u(x)(x)当x→x0时为无穷小。若(x)当x→时为无穷小，u(x)当

54、x

55、大于某正数X时有界，则u(x)(x)当x→时为无穷小。x→x0时的情形x→时的情形各类函数的有界性图示函数在区间(a,b)内有界函数在点x0

56、邻域内有界函数当x→的时有界若(x)当x→x0时为无穷小，u(x)在x=x0的邻域内有界，则u(x)(x)当x→x0时为无穷小。趋于时定理的几何意义xx0证x→x0时的情形设u(x)在x=x0的某邻域内有界，要证因为u(x)在x0的某邻域内有界，由相应有界性定义，存在