高等数学_无穷小与无穷大.ppt

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1、一、无穷小的概念与性质第三节无穷小与无穷大二、无穷大第二章一、无穷小的概念与性质定义2.3若时,则称函数例如：函数x-1是的无穷小;函数是的无穷小;为时的无穷小.1.无穷小的概念称为当的无穷小.(4)以零为极限的数列都是时的无穷小.函数的无穷小.是除0以外任何很小的常数都不是无穷小!注1°2°不能笼统地说某函数是无穷小，而应当说函数是自变量趋向某个值时的无穷小.例如，说是无穷小”是不对的;函数当时为无穷小.“函数而应当说，其中为时的无穷小.2.无穷小与函数极限的关系定理2.4证当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.意义（1）将一般极限问题转化为特殊极

2、限问题(无穷小);时,有3.无穷小的性质定理2.5有限个无穷小的和仍为无穷小.证考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.注1°上述结论对于自变量的任一极限过程(如：x)均成立；例如，2°无穷多个无穷小之和不一定是无穷小!定理2.6无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小.推论1无穷小与常量的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积仍是无穷小.例1求解利用定理2.6,可知注y=0是的水平渐近线.二、无穷大定义2.4若M>0,当时，总有则称函数当时为无穷大,使得若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作1.无穷大的概念2.几何

3、意义例2证明证M>0,要使只要故取则当时，有即渐近线注1°不可把无穷大与很大的固定的数混为一谈,无穷大是变量，而再大的固定的数也是常量；3°2°不能笼统地说某函数是无穷大，而应当说函数是自变量趋向某个值时的无穷大；4°5°若在x的某一变化过程中，f(x)是无穷大，g(x)满足

4、g(x)

5、≥M(M>0),则f(x)g(x)是无穷大。若则称直线为曲线的铅直渐近线.6°7°无穷大与无界的关系则则3.无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为定理2.7在自变量的同一变化过程中,注无穷小来讨

6、论.1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系内容小结例2-1求解x→1时,分母→0,故不能直接使用商的极限法则,但其倒数的极限由无穷大与无穷小的关系反例：函数但但当时,不是无穷大!因为从几何上也很容易得此结论