高等数学经典教案：无穷小与无穷大

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1、无穷小与无穷大教学目的：1.使学生理解无穷小的概念及性质；2.使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系;3.掌握无穷小的比较方法.教学过程:一、复习函数极限的定义及性质二、讲解新课1.3无穷小量和无穷大量一、无穷小量1、定义若在自变量的某一变化过程中，函数的极限为零，则把函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。即：极限为零的变量称为无穷小.例如,注意（1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。例：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。（1）（2）

2、（3）（4）定理1其中是当时的无穷小.2、无穷小与函数极限的关系证：必要性充分性例：当时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。3、无穷小的运算性质:性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小例1、求下列极限解：因为=0，而即sinx有界,由无穷小性质得原式=0解：0∴原式=0二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义2若在自

3、变量x的某一变化过程中，函数f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数当(或)时为无穷大,记作例如：特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.分析：（1）取无界，不是无穷大。三、无穷小与无穷大的关系定理在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例1解：由无穷小与无穷大的倒数关系得：原式=例2指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小。解：因为时，，所以时，是无穷小；因为时，，所以时，

4、是无穷大；解：因为时，，所以时，是无穷小因为时，，所以时，是无穷大解：因为时，，所以时，是正无穷大因为时，，所以时，是无穷小练习指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小四、无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下的性质：性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小例1解：因为时，x为无穷小,为有界函数,由性质2，得到。练习4：利用无穷小的性质,求下列函数的极限五、无穷小的比较定义　设a和b是同一变化过程中的两个无穷小，即lima=0和limb=0(１)如果，那么称a是

5、b的高阶无穷小；(２)如果，那么称a是b的低阶无穷小；(３)如果，那么称a是b的同阶无穷小；特别是当c=1时，即当时，则称a与b是等价无穷小,记作：b~a。例1选择题（1）当时，变量是变量的（）[A]高阶无穷小；[B]低阶无穷小；[C]同阶无穷小；[D]等价无穷小解：,（2）当时，变量是变量的（）[A]高阶无穷小；[B]低阶无穷小；[C]同阶无穷小；[D]等价无穷小解：，【补充】等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)常用等价无穷小:例1解：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．例

6、2解注意不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.例3错解（）解：