高等数学 第二章 极限与连续 2.4 无穷大量与无穷小量.ppt

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1、高等数学—第二章极限与连续第四节无穷大量与无穷小量一、无穷大量二、无穷小量三、无穷小量与无穷大量的关系四、无穷小量的阶一、无穷大量定义2.8如果对于任意给定的正数E，变量y在其变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式恒成立，记作2.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆，注意：1.无穷大量是极限为∞的变量；它是描述函数的某种状态；则称变量y是无穷大量，或称变量y趋于无穷大,例如，二、无穷小量定义2.9以0为极限的变量，称为无穷小量。即，对于任意给定的正数ε，在变量y的变化过程中，总有那么一

2、个时刻，在那个时刻以后，不等式则称变量y是无穷小量，简称无穷小。1.无穷小量的定义恒成立，定义2.9以0为极限的变量，称为无穷小量。当例如：时，函数当为无穷小。时，函数为无穷小；时，函数当为无穷小；注意：（1）除0以外任何很小的常数都不是无穷小；（2）无穷小和无穷大一定是在某一变化趋势下的。简记为：α、β、γ等。例1当时，是无穷小量；当时，是无穷大量。当时，是无穷大量；当时，是无穷小量。2.无穷小量的性质定理2.5（其中为无穷小量）证明：那么，α为无穷小量。即，总有那么一个时刻，（必要性）由可知

3、，对于在那个时刻之后，有记（自己思考：充分性的证明。）定理2.6无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。证明：设y在某一时刻之后为有界变量。在某一时刻之后，恒有那么对于任意的ε>0，存在一个在那个时刻之后，恒有在上面较晚的那个时刻之后，以上两式恒成立。即，αy是无穷小量。推论常量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。如，那么存在M>0,设α是无穷小量。时刻，那么，性质2（证明）两个无穷小量的和仍为无穷小量。性质3(Th2.9推论1)两个无穷小量的乘积仍为无穷小量。性质1无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。

4、例2求解：因为当x→0时，x是无穷小量。因此，是有界变量，由定理2.6，类似地有，然而，（注意观察区别）性质2和性质3可以推广到有限个情形而注意例3解：先变形再求极限.无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.三、无穷小量与无穷大量的关系（1）若y是无穷大量，则是无穷小量；（自己练习证明）在变量y的变化过程中，定理2.7（2）若y(y≠0)是无穷小量，则是无穷大量。如，因为当x→1时，是无穷小量，则四、无穷小量的阶定义2.10设α，β是同一变化过程中的两个无穷小量。（1）若则称β是比α较高阶无穷小量，记

5、作：（2）若则称β与α是同阶无穷小量；当C=1时，称β与α是等价无穷小量，记为：则称β是比α较低阶无穷小量。（3）若特别地，如，则当x→0时，2x与x是同阶无穷小量。则当x→0时，例4当x→0时，下列无穷小量与x相比是什么无穷小量。（1）（3）（2）解：由因此，自己练习（2）、（3）。返回本章目录性质2两个无穷小量的和仍为无穷小量。时,有证明：考虑两个无穷小的和。设当时,有当时,有取则当因此注意：有限个无穷小量的和仍为无穷小量。