5-无穷小量与无穷大量、极限的运算.ppt

《5-无穷小量与无穷大量、极限的运算.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第五讲无穷小量与无穷大量、极限的运算法则第二章极限本次课学习要求：理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。掌握极限的运算法则。第三节无穷小量与无穷大量一.无穷小量二.无穷大量一、无穷小量及其运算性质简言之,在某极限过程中,以0为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.例1在任何一个极限过程中,常值函数y=0均为无穷小量.1.无穷小量的定义定义2.函数的极限与无穷小量的关系分析反之亦然.由以上的分析,你可得出什么结论?

2、由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.3.无穷小量的运算法则常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.证明：在某极限过程中,两个无穷小量之和仍是一个无穷小量.证证明:在某一极限过程中,无穷小量与有界量的积仍是一个无穷小量.证例2证证明有界量与无穷小量的乘积证明：在某极限过程中以

3、极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.证有界量与无穷小量之积(i)一般说来,有界量的倒数不一定有界.例如,f(x)=x,x(0,1).(ii)我们没有涉及两个无穷小量商的极限的情形,因为它的情形较复杂,将在以后专门讨论.注意：例3解二.无穷大量定义1.无穷大量的定义例4(iii),(iv)自己画画图会更清楚.例5解无穷大量是按绝对值定义的.例6无穷大量是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量?但该数列是无界的.当x时,函数sinx、cosx,是否为无穷大量？因为sinx、cosx是有界

4、函数,所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.2.无穷大量与无穷小量的关系(无穷大量的倒数为无穷小量,x0)(无穷小量的倒数为无穷大量,x0)则例7在某一极限过程中根据定义同学们课后自己进行证明.定理无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真3.无穷大量的运算性质在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.不是无穷大量是无穷大量例8两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察例9有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:例9有界量与无穷大量的乘积是

5、否一定为无穷大量？不着急,看个例题:不一定再是无穷大量.结论:在某个极限过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.第四节极限的运算极限运算法则的理论依据依据无穷小量的运算法则定理法则由此你能不能写出极限四则运算公式？一.极限的运算法则和的极限等于极限的和.乘积的极限等于极限的乘积.商的极限等于极限的商(分母不为零).差一点!?结论成立的条件.设在某极限过程中,函数f(x)、g(x)的极限limf(x)、limg(x)存在,则法则1、3可推

6、广至有限个函数的情形.法则6中换成其极限仍为注：由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的运算法则,容易证明上述各公式.复合函数的极限有什么问题没有？7.复合函数的极限计算定理注意这个条件,缺了它定理不一定成立.证由极限的定义,即要证明：综上所述：该定理可以推广到其它几种极限过程中去.解例1求求有理分式函数xx0的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算.解例2初等展开解例3有理化解例4有理化解例5求故部分分式法例6证明原式由即得所证.证解例7或者用下面的方法利用无穷小量与无穷大量的关系涉及到两个无穷大量的差解例8所以,由复

7、合函数求极限法则这类复合函数的极限通常可写成解例9这是求幂指函数极限常用的方法:解例10这是两个无穷大量相减的问题.我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.(通分)解例11问b取何值时,存在,并求其值.若由函数的极限与其左、右极限的关系,得b=2,,,解例12并由此证明其中,n,mN.求第二问怎么做？令则当x0时,y0,故下面证明.变量代换例13解作业看懂书上未讲的例题P617(2)(4)P628(4)(6)(7)(9)预习极限存在定理，两个重要极限(第二章第五六节)