无穷小阶的比较.docx

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1、无穷小阶的比较作者:日期:21.6无穷小阶的比较1无穷小的比较设，是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.O0()；也说是比低阶的(1)如果lim—0,则称是比高阶的无穷小，记为xXo无穷小。⑵如果lim—c(c是不为o的常数)，则称是与同阶的无穷小。XXo⑶如果lim—1，则称与是等价无穷小，记作:或:Xx(4)如果lim=c(k0，c是不为o的常数)，则称是关于的k阶无穷小。XX例如X0时，3x2o(x)，sinx:x，1cosx与x2是同阶无穷小，同时1cosx也是关于x的二阶无穷小。1sinx注意并不是所有的无穷小都能进行比较，X时，f

2、(x)-，g(x)s一都是无穷小。XXf(x)1g(x)1由于limlim和limlimsinx都不存在，因此，f(x)与xg(x)xsinxxf(X)xxsinxg(x)不能进行阶的比较。X例1X0时，比较1cosx与X2的阶。211-122解lim1c0sXx02sin2—冋▼x2sinlim-X0//X24(；)21limx02.Xsin2xx0时，1cosx与丄x2是等价无穷小。2定理1.5.1设，是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则0()。例如X0时12，1cosX:X122，故1cosxxo(x)，即2212“2、12cosx

3、1X0(x)，于是在X0的小邻域内可以用1-X近似代替cosx。22定理1.5.2设JJJ都是自变量同一变化过程中的无穷小，且：，:45/5若lim—存在，则lim—lim一。证明lim—lim———lim—lim—lim—lim—。等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。2求lim卫迟。x0(sin2x)x0时，sin2x~2x；又x0时5x3sin5xlimx0(sin2x)30，所以5x3limx0(2x)3sin5x3~5x3。因此3求极限limx0tanxsinxo3xtanxsinxsinx(-cosx1)sinx(1cosx)。

4、cosxx0时，sinx~x,1cosx:所以limtanxsinxx0x312X—X13lim^-2——。xcosxx0xcosx2limsinx(1cosx)x0若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限。2x0时几个常见的无穷小12x0时，sinx:x,tanx:x，1cosx:—x，arcsinx:x2xaarctanx:xln(1x):x，a1:xlna(a0a1)，(1x)1:ax(a0)。例4证明x0时，sinhx:exe12(e1)1。45/5证明xxsinhxee(ex1

5、)(ex1)2(ex1)45/545/51xe122(ex1)x0时，ex1:x，因此，ex1x，故xe1x1limxlim—x02(ex1)x02x245/5于是sinhx1.1..Iimx()1xxoeX122即x0时，sinhx:ex1o作业：P451,2.45/5