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1、第18卷第4期牡丹江大学学报Vol.18No.42009年4月JournalofMudanjiangUniversityApr.2009文章编号：1008-8717（2009）04-0126-02无穷小阶的比较及应用12高原陈莹（1.周口职业技术学院信息科学系，河南周口466001；2.黄淮学院数学系，河南驻马店463000）摘要：本文对无穷小的阶进行了一些探讨，得到了几个关于无穷小阶的比较的结论，并应用于极限的计算与无穷小排序中去。关键词：无穷小；无穷小的阶；等价；分布中图分类号：O1文献标识码：A无穷小是数学教程中的基本概念之一，在计算数学和实际应用中，作为变量
2、常常用到它变化的快慢程度（比较意义下），就此我们展开以下讨论。1．关于无穷小的阶的比较1.1基本概念11sinx易知，当x→∞时，f(x)=,f(x)=,f(x)=均为无穷小，但12332xxxf(x)f(x)f(x)112lim=0,lim=1，lim=∞，x→∞f(x)x→∞f(x)x→∞f(x)233这种现象反映了在同一极限过程中，不同的无穷小变化的快慢是不同的。就上述例子来说，在x→∞的过程中，f(x)2比f(x)趋于零的速度要慢些，而f(x)比f(x)趋于零的速度快些，f(x)与f(x)趋于零的速度相当。为了13213对不同无穷小的“快慢”程度做精确的分析
3、与比较，引进以下定义：定义1.1设f(x)和g(x)(x→a)都是无穷小（这里a可以是0，∞或其它确定数值），它们可以是函数也可以是数列。f(x)（1）若→∞，则称当x→a时，f(g)是比g(x)低阶的无穷小。g(x)记作f(g)=0(g(x))，(x→a)；f(x)（2）若→a≠0，则称当x→a时，f(g)和g(x)同阶的无穷小。g(x)−记作f(g)=o(g(x))或g(x)=0(f(g))，(x→a)；fx()（3）若→1，则称当f(g),g(x)是等价无穷小量，记作f(x)～g(x)(x→a)；gx()f(x)0（4）若在某个U（a）内有界，记作f(x)=O
4、(g(x))(x→a)；g(x)f(x)（5）若→0，则称当x→a时f(x)强于g(x)(或g(x)弱于f(x))，g(x)收稿日期：2008-09-04126记作f(x);g(x)(x→a)或g(x)≺f(x)(x→a)1.2重要结论定理1.1设当x→a时，f(x),g(x),h(x)均为无穷小，则当x→a时，有（1）f=0(g),g=0(h),则f=0(h)（2）f～g,g～h,则f～h。−−−（3）f=0(g),g=0(h),则f=0(h)（4）f=O(g),g=O(h),则f=O(h)（5）f=O(g),g=0(h),则f=0(h)∂∂（6）f=O(g),∂
5、;0,则f=O(g)（7）O(f)⋅(0g)=(0f⋅g)=0(f⋅g)（8）f;g,g;h,则f;h（9）0(f)+0(f)=0(f)（10）f=0(g)⇔f≺g证明：（仅证（4）和（8））先证（4）f(x)g(x)因f=O(g),g=O(h)，故由定义知及分别在某个邻域内有界。即M1≥,0M2;0使g(x)h(x)fx()≤→Mxa()时，则2hx()fx()fx()gx()fx()gx()=•=•≤MM,(故fOh=)(下证明8):12hx()gx()hx()gx()hx()fx()gx()fggh;;,,故由定义→→0,0(xa→时),gx()hx()fx(
6、)fxgx()()则=•→0上()xg()xh()x故fh;应当注意的是，如(9)这类等式的意义与通常数值等式的意义不同，这类等式，每一个都做为一个整体记号，按照事先约定的意义，表达变量之间的某种关系或某种性质。2．几点应用2.1等价无穷小在计时的应用定理2.1.1设当x→a时，f,g,h均为无穷小，且f～g，则当limfx()gx()lim=∞=A(AA为有限数或时，有lim。xa→→hx()xahx()gx()证明：因为f～g，即lim=1,xa→fx()g(x)g(x)g(x)g(x)f(x)f(x)故lim=lim⋅=lim⋅lim=lim=Ax→ah(x)
7、x→af(x)f(x)x→af(x)x→ah(x)x→ag(x)定理2.1.2设当x→a时，f,g,F,G均为无穷小，且f～F,g～G，则当Fx()fx()lim=∞B（为有限数或）时，有BBlim=。x→aGx()xa→gx()f(x),g(x)证明：因为f～F,g～G，即→1→(1x→a),故F(x)G(x)f(x)f(x)F(x)G(x)f(x)F(x)G(x)lim=lim⋅⋅=lim⋅lim⋅lim=Bx→ag(x)x→aF(x)G(x)g(x)x→aF(x)x→aG(x)x→ag(x)（下转130页）127的条件下将i.i.d.的误差e推广为独立序列
