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1、第18卷第4期牡丹江大学学报Vol.18No.42009年4月JournalofMudanjiangUniversityApr.2009文章编号:1008-8717(2009)04-0126-02无穷小阶的比较及应用12高原陈莹(1.周口职业技术学院信息科学系,河南周口466001;2.黄淮学院数学系,河南驻马店463000)摘要:本文对无穷小的阶进行了一些探讨,得到了几个关于无穷小阶的比较的结论,并应用于极限的计算与无穷小排序中去。关键词:无穷小;无穷小的阶;等价;分布中图分类号:O1文献标识码:A无穷小是数学教程中的基本概念之一,在计算数学和实际应用中,作为变量
2、常常用到它变化的快慢程度(比较意义下),就此我们展开以下讨论。1.关于无穷小的阶的比较1.1基本概念11sinx易知,当x→∞时,f(x)=,f(x)=,f(x)=均为无穷小,但12332xxxf(x)f(x)f(x)112lim=0,lim=1,lim=∞,x→∞f(x)x→∞f(x)x→∞f(x)233这种现象反映了在同一极限过程中,不同的无穷小变化的快慢是不同的。就上述例子来说,在x→∞的过程中,f(x)2比f(x)趋于零的速度要慢些,而f(x)比f(x)趋于零的速度快些,f(x)与f(x)趋于零的速度相当。为了13213对不同无穷小的“快慢”程度做精确的分析
3、与比较,引进以下定义:定义1.1设f(x)和g(x)(x→a)都是无穷小(这里a可以是0,∞或其它确定数值),它们可以是函数也可以是数列。f(x)(1)若→∞,则称当x→a时,f(g)是比g(x)低阶的无穷小。g(x)记作f(g)=0(g(x)),(x→a);f(x)(2)若→a≠0,则称当x→a时,f(g)和g(x)同阶的无穷小。g(x)−记作f(g)=o(g(x))或g(x)=0(f(g)),(x→a);fx()(3)若→1,则称当f(g),g(x)是等价无穷小量,记作f(x)~g(x)(x→a);gx()f(x)0(4)若在某个U(a)内有界,记作f(x)=O
4、(g(x))(x→a);g(x)f(x)(5)若→0,则称当x→a时f(x)强于g(x)(或g(x)弱于f(x)),g(x)收稿日期:2008-09-04126记作f(x);g(x)(x→a)或g(x)≺f(x)(x→a)1.2重要结论定理1.1设当x→a时,f(x),g(x),h(x)均为无穷小,则当x→a时,有(1)f=0(g),g=0(h),则f=0(h)(2)f~g,g~h,则f~h。−−−(3)f=0(g),g=0(h),则f=0(h)(4)f=O(g),g=O(h),则f=O(h)(5)f=O(g),g=0(h),则f=0(h)∂∂(6)f=O(g),∂
5、;0,则f=O(g)(7)O(f)⋅(0g)=(0f⋅g)=0(f⋅g)(8)f;g,g;h,则f;h(9)0(f)+0(f)=0(f)(10)f=0(g)⇔f≺g证明:(仅证(4)和(8))先证(4)f(x)g(x)因f=O(g),g=O(h),故由定义知及分别在某个邻域内有界。即M1≥,0M2;0使g(x)h(x)fx()≤→Mxa()时,则2hx()fx()fx()gx()fx()gx()=•=•≤MM,(故fOh=)(下证明8):12hx()gx()hx()gx()hx()fx()gx()fggh;;,,故由定义→→0,0(xa→时),gx()hx()fx(
6、)fxgx()()则=•→0上()xg()xh()x故fh;应当注意的是,如(9)这类等式的意义与通常数值等式的意义不同,这类等式,每一个都做为一个整体记号,按照事先约定的意义,表达变量之间的某种关系或某种性质。2.几点应用2.1等价无穷小在计时的应用定理2.1.1设当x→a时,f,g,h均为无穷小,且f~g,则当limfx()gx()lim=∞=A(AA为有限数或时,有lim。xa→→hx()xahx()gx()证明:因为f~g,即lim=1,xa→fx()g(x)g(x)g(x)g(x)f(x)f(x)故lim=lim⋅=lim⋅lim=lim=Ax→ah(x)
7、x→af(x)f(x)x→af(x)x→ah(x)x→ag(x)定理2.1.2设当x→a时,f,g,F,G均为无穷小,且f~F,g~G,则当Fx()fx()lim=∞B(为有限数或)时,有BBlim=。x→aGx()xa→gx()f(x),g(x)证明:因为f~F,g~G,即→1→(1x→a),故F(x)G(x)f(x)f(x)F(x)G(x)f(x)F(x)G(x)lim=lim⋅⋅=lim⋅lim⋅lim=Bx→ag(x)x→aF(x)G(x)g(x)x→aF(x)x→aG(x)x→ag(x)(下转130页)127的条件下将i.i.d.的误差e推广为独立序列