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1、无穷大阶的比较及应用洛阳师范学院2006年第5期?35?无穷大阶的比较及应用许文超,赵武超(洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳471022)摘要:本文对无穷大的阶进行了探讨,得到了关于无穷大阶的比较的几个结论.并把这些结论用于极限的计算,无穷大的排序等问题.关键词:无穷大的阶;比较;应用中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1009—4790(2006)05—0035—03收稿日期:2005—06—18作者简介:许文超(1957一),男,河南灵宝人,副教授.在现行的《数学分析教程》中,无穷大是它的基本概念之一,并且被看成是变
2、量.无穷大的特征是在其变化过程中其绝对值是无限地越来越大,亦既可以大于任意指定的正实数.在变化过程中,无穷大指的是变量的变化趋势.然而,在计算数学和实际应用问题中,常常不仅需要知道变量的变化趋势,还要求了解该变量变化快慢的程度(当然是按照相对的意义,即比较的意义).无穷大的阶就是用来刻划极限过程中不同的无穷大的大小关系的.下面我们对无穷大的阶展开讨论.1关于无穷大的阶的比较1.1基本概念易知,当一+∞时,)=In,g()=,h()=,()=2x+2一3为均无穷大,但是_0,=一=2这种现象反映了在同一极限过程中,不同的无穷大变化的
3、"快慢"程度是不同的.就上述例子来说,在一+∞的过程中,f()比g()增大的"速度"要慢些,而h(x)比)增大的"速度"要快些,()与h()增大的"速度"快慢相仿.为了对不同的无穷大变化的"快慢"程度作精确的分析与比较,引进以下定义:定义1.1设),g()(一口)均为无穷大(这里的a可以是0,∞或其它确定数值)(口)若lim今=0,则称当一口HCf()比【)',g()是低阶无穷大,记作)=o(g(x))(一口);(6)若=1,则称当一口时/()比g()是等阶无穷大,记作)～g()(一口);()若li:b#O,则称当一口时/()～g
4、L比g()是同阶无穷大,记作f()=(g())(口);(d)若在某个f,(口)内有界,记作)gL=o(g())(—口);(e)若li:∞,则称当一口时)强…gL于g()(或g()弱于f()),记作f()>g()(—口)或g()</<)(—口)1.2重要结论定理1.1设当一口时,),g(),h()均为无穷大,则当一口时,有(1)/=o(g),(g)=0(h)=0(h);(2)/～g,g～=厂～h;(3)/=(g),g=(h)==(h);(4)/=0(g),g=0(h)=0(h);(5)/=o(g),g=0(h)=0
5、();(6)/=o(g),a>0=o(g.);(7)D(?o(g)=o(f?g);(8)f>g,g>>h;(9)o(+o(=o(;(10)/=0(g)<g.证明(仅证明(5)和(9))先证(5):Hf:D(g),g:.(),故由定义知娑在?36?洛阳师范学院2006年第5期某个领域(Ⅱ)内有界且li:0,所以有lira(f~__[']㈩())(—Ⅱ).再证明(9):因o∽=o∽(一Ⅱ),故_0,所以有l—ira_0,即o(/)+o∽=o∽.应当注意的是:这类等式的意义与通常数值等式的意义不同,这类等式
6、,每一个都作为一个整体记号,按照事先约定的意义,表达变量之间的某种关系或某种性质.2几点应用2.1等价无穷大在计算极限时的应用定理2.1.1设当一Ⅱ时f,g,h均为无穷大,且/～g,则当lim=A(A为有限数或∞)一0凡lJ时,有lira:A—凡证明因=.,且故l—img~()=li～m/g-(~)?li～mf((x))=.定理2.1.2设当一Ⅱ时f,g,F,G均为无穷大,且/～F,g～G,则当碧=B(B为有限数或∞)时,有li:B—og(J证明因=糌??且lim(f~,=1故lim(f~㈩=l—im(~?老手?=由以上两个定理可
7、知:在求极限时,分子,分母或乘积因式都可用相应的等价无穷大来代替.因此,如果用来代替的无穷大选得适当的话,可以使计算变得简单.例1求lim(√+厮一)解因>√(一+∞),故廊～(一+∞)从而有√+~/+～+～(一+∞)x+x++～+所以有limx+x+一,):(±2(±2～x+a/x+xxx:lim——丝一"x+x+x+x=__.1例2判别级数sin1In的敛散性.=l几十lJn解因In(n+1)～lnnn一∞),sin一1—一1n一∞),所以?sin～?.而∑士:+∞,故由比较判别法知原级数发散.2.2关于无穷大的排序问题
8、在同一极限过程中,不同的无穷大其强弱性可能不同,而在具体应用问题中往往要求对不同的无穷大的强度进行比较.定理2.2.1设a>1,6>0,则当一+∞时有:a>>log证明取正整数n使6∈(12,一1,n],则由罗必达法则,得a
